📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Trong một khu bảo tồn sinh thái, số lượng cá thể của một loài động vật quý hiếm (tính theo đơn vị trăm con) sau $t$ năm ($t \ge 0$) được mô hình hóa bởi hàm số $$N(t) = \frac{60t + 40}{t + 2}$$ Khi thời gian $t$ tăng lên vô hạn ($t \to +\infty$), số lượng cá thể loài động vật này tiến dần tới một ngưỡng cân bằng sinh thái (sức chứa môi trường của khu bảo tồn). Ngưỡng cân bằng sinh thái này bằng bao nhiêu trăm con?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Trong các bài toán thực tế (kinh tế, sinh thái học, hóa học, y học), khi đại lượng biến số $t$ (thời gian, sản lượng, …) tăng lên vô hạn ($t \to +\infty$), giá trị của đại lượng nghiên cứu $y = f(t)$ sẽ tiến dần tới một giá trị tới hạn ổn định, chính là giá trị của đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
- Đường thẳng $y = y_0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(t)$ nếu $\lim_{t \to +\infty} f(t) = y_0$ (hoặc $\lim_{t \to -\infty} f(t) = y_0$).
- Đối với hàm phân thức hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất $f(t) = \frac{at + b}{ct + d}$ ($c \ne 0$), giới hạn khi $t \to +\infty$ là: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{at + b}{ct + d} = \frac{a}{c}$$.
- Bạn đọc có thể tham khảo thêm các dạng bài liên quan tại các bài toán tìm số đường tiệm cận và chuyên đề khảo sát hàm số Toán 12.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Xác định bài toán tìm giới hạn của hàm số $N(t)$ khi $t$ tiến ra dương vô cực.
Theo đề bài, khi thời gian $t \to +\infty$, số lượng cá thể loài động vật tiến dần tới giá trị giới hạn:
$$L = \lim_{t \to +\infty} N(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{60t + 40}{t + 2}$$
Bước 2: Tính giới hạn bằng cách chia cả tử và mẫu cho $t$ (với $t > 0$):
$$L = \lim_{t \to +\infty} \frac{60 + \frac{40}{t}}{1 + \frac{2}{t}} = \frac{60 + 0}{1 + 0} = 60$$
Bước 3: Kết luận ý nghĩa thực tiễn.
Đồ thị hàm số $N(t)$ có đường tiệm cận ngang là $N = 60$. Như vậy, khi thời gian trôi qua đủ lâu, số lượng cá thể của loài động vật này trong khu bảo tồn sẽ ổn định và tiệm cận đến ngưỡng cân bằng sinh thái là $60$ trăm con ($6000$ con).
👉 Đáp số (kết quả điền số): 60
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Một xưởng may sản xuất áo sơ mi có chi phí cố định là $80$ triệu đồng và chi phí biến đổi cho mỗi chiếc áo là $0{,}15$ triệu đồng. Chi phí trung bình để sản xuất một chiếc áo khi sản xuất $x$ chiếc ($x \ge 1$) là $\overline{C}(x) = \frac{80 + 0{,}15x}{x}$ (triệu đồng/chiếc). Khi số lượng áo sản xuất ngày càng lớn ($x \to +\infty$), chi phí trung bình để may một chiếc áo tiến dần về bao nhiêu triệu đồng?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta tính giới hạn của chi phí trung bình khi $x \to +\infty$:
$$\lim_{x \to +\infty} \overline{C}(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{80}{x} + 0{,}15\right) = 0 + 0{,}15 = 0{,}15$$
👉 Đáp số: 0.15
Bài tập 2: Nồng độ của một chất khử khuẩn trong một bể chứa nước công nghiệp theo thời gian $t$ (giờ, $t \ge 0$) kể từ lúc bắt đầu sục khí được cho bởi công thức $C(t) = \frac{15t + 8}{3t + 2}$ (đơn vị: $\text{g/L}$). Khi thời gian sục khí kéo dài vô hạn ($t \to +\infty$), nồng độ chất khử khuẩn trong bể tiến dần đến bao nhiêu $\text{g/L}$?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Ta tính giới hạn của nồng độ khi $t \to +\infty$:
$$\lim_{t \to +\infty} C(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{15t + 8}{3t + 2} = \lim_{t \to +\infty} \frac{15 + \frac{8}{t}}{3 + \frac{2}{t}} = \frac{15}{3} = 5$$
👉 Đáp số: 5
Bài tập 3: Vận tốc rơi của một vật có khối lượng trong chất lỏng có lực cản theo thời gian $t$ (giây, $t \ge 0$) được mô tả bởi hàm số $v(t) = \frac{36t}{t + 4}$ (đơn vị: $\text{m/s}$). Vận tốc rơi giới hạn (vận tốc cực đại mà vật tiến tới khi $t \to +\infty$) bằng bao nhiêu $\text{m/s}$?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Vận tốc rơi giới hạn là tiệm cận ngang của hàm số $v(t)$ khi $t \to +\infty$:
$$v_{\infty} = \lim_{t \to +\infty} \frac{36t}{t + 4} = \lim_{t \to +\infty} \frac{36}{1 + \frac{4}{t}} = 36\text{ (m/s)}$$
👉 Đáp số: 36
Bài tập 4: Số lượng linh kiện mà một công nhân mới có thể lắp ráp trong một ngày sau $t$ tuần được đào tạo nghề ($t \ge 0$) được
Để lại phản hồi