📌 Đề bài:
Khẳng định nào sau đây đúng về tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = \dfrac{\sin 3x}{2 + \cos x}$?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác cơ bản $y = f(x)$, ta tiến hành theo hai bước:
- Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số và kiểm tra tính đối xứng: $\forall x \in D \implies -x \in D$.
- Bước 2: Tính và so sánh $f(-x)$ với $f(x)$:
- Nếu $f(-x) = f(x)$ với mọi $x \in D$ thì $f(x)$ là hàm số lượng giác chẵn.
- Nếu $f(-x) = -f(x)$ với mọi $x \in D$ thì $f(x)$ là hàm số lẻ.
- Nếu tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(-x_0) \ne f(x_0)$ và $f(-x_0) \ne -f(x_0)$ thì hàm số không chẵn, không lẻ.
Các công thức góc đối cần nhớ: $\sin(-u) = -\sin u$, $\cos(-u) = \cos u$, $\tan(-u) = -\tan u$, $\cot(-u) = -\cot u$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Hàm số xác định khi và chỉ khi mẫu số khác $0$:
$$2 + \cos x \ne 0 \iff \cos x \ne -2$$
Vì $-1 \le \cos x \le 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, nên $2 + \cos x \ge 2 – 1 = 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Do đó, tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.
Suy ra với mọi $x \in D$, ta luôn có $-x \in D$.
Bước 2: Xét biểu thức $f(-x)$
Với mọi $x \in D$, thay $x$ bởi $-x$, ta có:
$$f(-x) = \frac{\sin[3(-x)]}{2 + \cos(-x)} = \frac{\sin(-3x)}{2 + \cos(-x)}$$
Áp dụng tính chất của hàm số lượng giác đối với góc đối:
$$\sin(-3x) = -\sin 3x \quad \text{và} \quad \cos(-x) = \cos x$$
Thay vào biểu thức trên ta được:
$$f(-x) = \frac{-\sin 3x}{2 + \cos x} = -\frac{\sin 3x}{2 + \cos x} = -f(x)$$
Tương tự phương pháp xét tính chẵn lẻ của hàm số chứa phân thức lượng giác, ta thấy $f(-x) = -f(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Vậy hàm số $y = f(x)$ là hàm số lẻ.
👉 Kết luận / Đáp án: B. Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = \dfrac{\sin x + \tan x}{\cos 2x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Điều kiện xác định: $\cos x \ne 0$ và $\cos 2x \ne 0$, tức là $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ và $x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Tập xác định $D$ đối xứng qua gốc tọa độ: $\forall x \in D \implies -x \in D$.
Ta có: $f(-x) = \dfrac{\sin(-x) + \tan(-x)}{\cos(-2x)} = \dfrac{-\sin x – \tan x}{\cos 2x} = -\dfrac{\sin x + \tan x}{\cos 2x} = -f(x)$.
Đáp số: Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Bài tập 2: Cho hàm số $y = g(x) = x^2 \cos 4x + 3\cos x$. Mệnh đề nào sau đây đúng về tính chẵn, lẻ của hàm số?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$, do đó $\forall x \in D \implies -x \in D$.
Ta có: $g(-x) = (-x)^2 \cos(-4x) + 3\cos(-x) = x^2 \cos 4x + 3\cos x = g(x)$.
Đáp số: Hàm số $y = g(x)$ là hàm số chẵn.
Bài tập 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = h(x) = \sin 2x + \cos x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Xét $x_0 = \frac{\pi}{4} \in D$:
$$h\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$h\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Ta thấy $h\left(-\frac{\pi}{4}\right) \ne h\left(\frac{\pi}{4}\right)$ và $h\left(-\frac{\pi}{4}\right) \ne -h\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
Đáp số: Hàm số không chẵn và không lẻ.
Bài tập 4: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = k(x) = |x| \cdot \sin 3x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có $-x \in \mathbb{R}$ và:
$$k(-x) = |-x| \cdot \sin[3(-x)] = |x| \cdot [-\sin 3x] = -|x| \sin 3x = -k(x)$$
Đáp số: Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Bài tập 5: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = u(x) = \dfrac{\cos^3 x}{x^2 + 4}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Tập xác định: Mẫu số $x^2 + 4 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, suy ra $D = \mathbb{R}$.
Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có $-x \in \mathbb{R}$ và:
$$u(-x) = \frac{\cos^3(-x)}{(-x)^2 + 4} = \frac{[\cos(-x)]^3}{x^2 + 4} = \frac{\cos^3 x}{x^2 + 4} = u(x)$$
Đáp số: Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Để lại phản hồi