📌 Đề bài:
Tìm tập giá trị của hàm số $y = 3 – 2\sin^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để xác định tập giá trị của hàm số lượng giác chứa lũy thừa bậc hai dạng $y = a \sin^2(u(x)) + b$ hoặc $y = a \cos^2(u(x)) + b$, ta thực hiện theo các bước sau:
- Sử dụng đánh giá cơ bản của hàm số sin và cos: với mọi góc $\alpha \in \mathbb{R}$, ta luôn có: $$-1 \le \sin \alpha \le 1 \implies 0 \le \sin^2 \alpha \le 1$$
- Nhân các vế với hệ số thích hợp và cộng/trừ với hằng số tự do để tạo thành biểu thức $y$. Cần chú ý khi nhân với số âm thì bất đẳng thức đổi chiều.
- Tương tự như khi tập giá trị của hàm số lượng giác bậc nhất, ta tìm ra giá trị nhỏ nhất ($m$) và giá trị lớn nhất ($M$) của hàm số trên $\mathbb{R}$, từ đó kết luận tập giá trị $T = [m; M]$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}$.
Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta luôn có:
$$0 \le \sin^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \le 1$$
Nhân cả ba vế với $-2$ (bất đẳng thức đổi chiều):
$$-2 \le -2\sin^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \le 0$$
Cộng $3$ vào cả ba vế, ta được:
$$3 – 2 \le 3 – 2\sin^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \le 3 + 0 \iff 1 \le y \le 3$$
Kiểm tra các dấu đẳng thức xảy ra:
- $y = 1 \iff \sin^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 \iff \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 0 \iff 2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi \iff x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}\; (k \in \mathbb{Z})$.
- $y = 3 \iff \sin^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 0 \iff 2x + \frac{\pi}{6} = k\pi \iff x = -\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}\; (k \in \mathbb{Z})$.
Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là $y_{\min} = 1$ và giá trị lớn nhất của hàm số là $y_{\max} = 3$.
Vậy tập giá trị của hàm số là $T = [1; 3]$. Bạn cũng có thể đối chiếu phương pháp với bài toán tìm tập giá trị của hàm số $y = 3\sin\left(2x – \frac{\pi}{4}\right) – 1$ để nắm vững bản chất.
👉 Kết luận: Chọn đáp án B.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tìm tập giá trị của hàm số $y = 4\cos^2\left(x – \frac{\pi}{3}\right) – 1$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có: $0 \le \cos^2\left(x – \frac{\pi}{3}\right) \le 1, \forall x \in \mathbb{R}$.
Nhân cả ba vế với $4$: $0 \le 4\cos^2\left(x – \frac{\pi}{3}\right) \le 4$.
Trừ $1$ cho cả ba vế: $-1 \le y \le 3$.
Đáp số: Tập giá trị $T = [-1; 3]$.
Bài tập 2: Tìm tập giá trị của hàm số $y = 5 – 3\sin^4 x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Ta có: $0 \le \sin^4 x \le 1, \forall x \in \mathbb{R}$.
Nhân với $-3$: $-3 \le -3\sin^4 x \le 0$.
Cộng $5$: $2 \le 5 – 3\sin^4 x \le 5 \iff 2 \le y \le 5$.
Đáp số: Tập giá trị $T = [2; 5]$.
Bài tập 3: Tìm tập giá trị của hàm số $y = \sqrt{2\cos 2x + 7} – 3$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Ta có: $-1 \le \cos 2x \le 1 \implies -2 \le 2\cos 2x \le 2$.
Cộng $7$: $5 \le 2\cos 2x + 7 \le 9 \implies \sqrt{5} \le \sqrt{2\cos 2x + 7} \le 3$.
Trừ $3$: $\sqrt{5} – 3 \le y \le 0$.
Đáp số: Tập giá trị $T = [\sqrt{5} – 3; 0]$.
Bài tập 4: Tìm tập giá trị của hàm số $y = 2|\sin 3x| + 1$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có $0 \le |\sin 3x| \le 1$.
Nhân $2$ và cộng $1$: $2 \cdot 0 + 1 \le 2|\sin 3x| + 1 \le 2 \cdot 1 + 1 \iff 1 \le y \le 3$.
Đáp số: Tập giá trị $T = [1; 3]$.
Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{6}{3 + 2\sin^2 x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Ta có $0 \le \sin^2 x \le 1 \implies 0 \le 2\sin^2 x \le 2 \implies 3 \le 3 + 2\sin^2 x \le 5$.
Lấy nghịch đảo và nhân $6$: $\frac{6}{5} \le \frac{6}{3 + 2\sin^2 x} \le \frac{6}{3} = 2$.
Đáp số: $y_{\min} = \frac{6}{5}$, $y_{\max} = 2$, tập giá trị $T = \left[\frac{6}{5}; 2\right]$.
Để lại phản hồi