📌 Đề bài:
Tính giá trị đúng của biểu thức lượng giác sau:
$$P = \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tính giá trị của biểu thức lượng giác chứa tích của các hàm số $\sin$, ta áp dụng linh hoạt các công thức biến đổi tích thành tổng:
- $\sin a \sin b = \dfrac{1}{2} [\cos(a – b) – \cos(a + b)]$
- $\sin a \cos b = \dfrac{1}{2} [\sin(a + b) + \sin(a – b)]$
- $\cos a \cos b = \dfrac{1}{2} [\cos(a – b) + \cos(a + b)]$
Chiến lược biến đổi: Ghép hai thừa số có góc lớn để áp dụng tích thành tổng, sau đó nhân phân phối với thừa số còn lại để làm triệt tiêu các biểu thức phụ thuộc vào góc không đặc biệt (tương tự như phương pháp dùng trong bài toán tính giá trị biểu thức tích các cos).
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Cách 1: Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Ta nhóm hai thừa số $\sin 40^\circ$ và $\sin 80^\circ$ rồi áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng:
$$\sin 40^\circ \sin 80^\circ = \dfrac{1}{2} [\cos(80^\circ – 40^\circ) – \cos(80^\circ + 40^\circ)] = \dfrac{1}{2} [\cos 40^\circ – \cos 120^\circ]$$
Vì $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$, ta có:
$$\sin 40^\circ \sin 80^\circ = \dfrac{1}{2} \left[\cos 40^\circ – \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right] = \dfrac{1}{2} \cos 40^\circ + \dfrac{1}{4}$$
Thay kết quả vào biểu thức ban đầu $P$:
$$P = \sin 20^\circ \left(\dfrac{1}{2} \cos 40^\circ + \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2} \sin 20^\circ \cos 40^\circ + \dfrac{1}{4} \sin 20^\circ$$
Tiếp tục áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho $\sin 20^\circ \cos 40^\circ$:
$$\sin 20^\circ \cos 40^\circ = \dfrac{1}{2} [\sin(20^\circ + 40^\circ) + \sin(20^\circ – 40^\circ)] = \dfrac{1}{2} [\sin 60^\circ – \sin 20^\circ]$$
Do $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, ta có:
$$\sin 20^\circ \cos 40^\circ = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} – \sin 20^\circ\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{4} – \dfrac{1}{2} \sin 20^\circ$$
Thay vào biểu thức $P$:
$$P = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{4} – \dfrac{1}{2} \sin 20^\circ\right) + \dfrac{1}{4} \sin 20^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{8} – \dfrac{1}{4} \sin 20^\circ + \dfrac{1}{4} \sin 20^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{8}$$
Cách 2: Áp dụng công thức đặc biệt $\sin x \sin(60^\circ – x) \sin(60^\circ + x) = \dfrac{1}{4} \sin 3x$
Với $x = 20^\circ$, ta có:
$$P = \sin 20^\circ \sin(60^\circ – 20^\circ) \sin(60^\circ + 20^\circ) = \dfrac{1}{4} \sin(3 \cdot 20^\circ) = \dfrac{1}{4} \sin 60^\circ = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{8}$$
👉 Kết luận: Chọn đáp án B ($P = \dfrac{\sqrt{3}}{8}$).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tính giá trị của biểu thức $A = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $\cos 40^\circ \cos 80^\circ = \dfrac{1}{2}(\cos 120^\circ + \cos 40^\circ) = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}\cos 40^\circ$.
Suy ra $A = \cos 20^\circ\left(-\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}\cos 40^\circ\right) = -\dfrac{1}{4}\cos 20^\circ + \dfrac{1}{2}\cos 40^\circ\cos 20^\circ$.
Mà $\cos 40^\circ\cos 20^\circ = \dfrac{1}{2}(\cos 60^\circ + \cos 20^\circ) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}\cos 20^\circ$.
Do đó $A = -\dfrac{1}{4}\cos 20^\circ + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}\cos 20^\circ\right) = \dfrac{1}{8}$.
Đáp số: $A = \dfrac{1}{8}$.
Bài tập 2: Tính giá trị của biểu thức $B = \sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Áp dụng tích thành tổng cho $\sin 50^\circ \sin 70^\circ = \dfrac{1}{2}[\cos 20^\circ – \cos 120^\circ] = \dfrac{1}{2}\cos 20^\circ + \dfrac{1}{4}$.
Khi đó $B = \sin 10^\circ \left(\dfrac{1}{2}\cos 20^\circ + \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2}\sin 10^\circ \cos 20^\circ + \dfrac{1}{4}\sin 10^\circ$.
Lại có $\sin 10^\circ \cos 20^\circ = \dfrac{1}{2}[\sin 30^\circ + \sin(-10^\circ)] = \dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{2}\sin 10^\circ$.
Vậy $B = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{2}\sin 10^\circ\right) + \dfrac{1}{4}\sin 10^\circ = \dfrac{1}{8}$.
Đáp số: $B = \dfrac{1}{8}$.
Bài tập 3: Tính giá trị của biểu thức $C = \cos 10^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Biến đổi tích thành tổng:
$\cos 50^\circ \cos 70^\circ = \dfrac{1}{2}[\cos 120^\circ + \cos 20^\circ] = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}\cos 20^\circ$.
$C = \cos 10^\circ \left(-\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}\cos 20^\circ\right) = -\dfrac{1}{4}\cos 10^\circ + \dfrac{1}{2}\cos 20^\circ \cos 10^\circ$.
Có $\cos 20^\circ \cos 10^\circ = \dfrac{1}{2}[\cos 30^\circ + \cos 10^\circ] = \dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1}{2}\cos 10^\circ$.
Suy ra $C = -\dfrac{1}{4}\cos 10^\circ + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1}{2}\cos 10^\circ\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{8}$.
Đáp số: $C = \dfrac{\sqrt{3}}{8}$.
Bài tập 4: Tính giá trị của biểu thức $D = \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta có $D = \sin 60^\circ \cdot (\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ)$.
Theo bài toán chính, ta có $\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{8}$.
Vì $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ nên $D = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{8} = \dfrac{3}{16}$.
Đáp số: $D = \dfrac{3}{16}$.
Bài tập 5: Rút gọn biểu thức lượng giác $M = 4\cos x \cos(60^\circ – x) \cos(60^\circ + x)$ và tính giá trị khi $x = 10^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Áp dụng biến đổi tích thành tổng:
$$\cos(60^\circ – x)\cos(60^\circ + x) = \dfrac{1}{2}[\cos 120^\circ + \cos 2x] = \dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{2} + \cos 2x\right) = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}\cos 2x$$
Do đó:
$$M = 4\cos x \left(-\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}\cos 2x\right) = -\cos x + 2\cos 2x \cos x$$
Lại có $2\cos 2x \cos x = \cos 3x + \cos x$. Vậy $M = -\cos x + \cos 3x + \cos x = \cos 3x$.
Khi $x = 10^\circ$, giá trị của $M = \cos(3 \cdot 10^\circ) = \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Đáp số: $M = \cos 3x$ và $M(10^\circ) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Để lại phản hồi