Một khung hình trang trí có dạng một đa giác đều $12$ cạnh ${A_1}{A_2}…{A_{12}}$

Bài toán gốc

Một khung hình trang trí có dạng một đa giác đều $12$ cạnh ${A_1}{A_2}…{A_{12}}$ (xem hình dưới) được gắn cố định trên một trần nhà. Bạn Dũng có $12$ bóng đèn gồm bốn bóng màu đỏ và tám bóng màu xanh, có công suất đôi một khác nhau. Bạn Dũng lắp ngẫu nhiên $12$ bóng đèn trên vào $12$ đỉnh ${A_1},{A_2},…,{A_{12}}$ sao cho mỗi đỉnh có đúng một bóng đèn.

Gọi $P$ là xác suất để mỗi hình vuông (có bốn đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho) đều có ít nhất một bóng đèn màu đỏ. Giá trị của $4565P$ bằng bao nhiêu?

Phân tích và Phương pháp giải

Bài toán thuộc dạng xác suất tổ hợp, cụ thể là sắp xếp các đối tượng có thuộc tính (màu sắc) vào các vị trí phân biệt. Yêu cầu là tính xác suất để một điều kiện nhất định được thỏa mãn đối với các nhóm vị trí đã cho.

Phương pháp giải chính là đếm số trường hợp thuận lợi và số trường hợp của không gian mẫu.

Trong đó, việc đếm trường hợp thuận lợi thường sử dụng nguyên lý bù trừ hoặc phân chia trường hợp, sau đó sử dụng các công thức tổ hợp (chọn vị trí) và chỉnh hợp (sắp xếp các đối tượng phân biệt). Điểm mấu chốt là nhận diện các cấu hình con (các hình vuông trong bài toán gốc) và cách các đối tượng được phân bố vào các cấu hình đó để thỏa mãn điều kiện ‘ít nhất một’.

Mặc dù các bóng đèn có công suất khác nhau (tức là phân biệt), nhưng nếu điều kiện chỉ phụ thuộc vào màu sắc, thì xác suất có thể được tính bằng cách đếm số cách chọn vị trí cho các bóng đèn theo màu sắc.

Bài toán tương tự

1. **Bài toán 1 (Tự luận):** Một giá sách có 10 vị trí được chia thành hai ngăn, mỗi ngăn 5 vị trí. Bạn An có 4 cuốn sách toán và 6 cuốn sách văn (tất cả các cuốn sách đều khác nhau). Bạn An xếp ngẫu nhiên 10 cuốn sách này vào 10 vị trí trên giá sách. Tính xác suất để mỗi ngăn của giá sách đều có ít nhất một cuốn sách toán.

Đáp án: 20/21.

Lời giải ngắn gọn: Tổng số cách xếp 10 cuốn sách là 10!. Tuy nhiên, vì điều kiện chỉ phụ thuộc vào vị trí của sách toán, ta chỉ cần xét số cách chọn vị trí cho 4 cuốn sách toán: C(10,4) = 210 cách.

Gọi A là biến cố mỗi ngăn đều có ít nhất một cuốn sách toán. Có 4 cuốn sách Toán (T). Ngăn 1 (5 vị trí), Ngăn 2 (5 vị trí). Điều kiện: Số T ở Ngăn 1 >= 1 và Số T ở Ngăn 2 >= 1. Tổng số T là 4.

Các trường hợp phân bố T vào 2 ngăn: (1T, 3T) hoặc (2T, 2T) hoặc (3T, 1T). Số cách chọn vị trí cho 4 cuốn T: – (1T, 3T): C(5,1) * C(5,3) = 5 * 10 = 50. – (2T, 2T): C(5,2) * C(5,2) = 10 * 10 = 100. – (3T, 1T): C(5,3) * C(5,1) = 10 * 5 = 50.

Tổng số cách chọn vị trí thuận lợi cho sách Toán = 50 + 100 + 50 = 200. Xác suất P = 200/210 = 20/21.

2. **Bài toán 2 (Tự luận):** Một đa giác đều 9 cạnh ${A_1}{A_2}…{A_9}$ có 9 đỉnh. Có 9 bóng đèn gồm 3 bóng màu đỏ, 3 bóng màu xanh và 3 bóng màu vàng, tất cả đều có công suất khác nhau. Lắp ngẫu nhiên 9 bóng đèn này vào 9 đỉnh của đa giác. Tính xác suất để mỗi hình tam giác đều (có các đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho) đều có đúng một bóng đèn màu đỏ.

Đáp án: 9/28.

Lời giải ngắn gọn: Có 3 hình tam giác đều nội tiếp đa giác 9 cạnh: T1={A1,A4,A7}, T2={A2,A5,A8}, T3={A3,A6,A9}. Mỗi hình có 3 đỉnh và các hình này đôi một không có đỉnh chung. Ta có 3 bóng đỏ. Để mỗi tam giác đều có đúng một bóng đỏ, ta phải phân bố 1 bóng đỏ vào mỗi tam giác.

Tổng số cách chọn vị trí cho 3 bóng đỏ trên 9 đỉnh là C(9,3) = (9*8*7)/(3*2*1) = 84 cách. Số cách chọn vị trí thuận lợi cho 3 bóng đỏ:

Chọn 1 vị trí từ T1: C(3,1) = 3 cách.

Chọn 1 vị trí từ T2: C(3,1) = 3 cách.

Chọn 1 vị trí từ T3: C(3,1) = 3 cách.

Tổng số cách chọn vị trí thuận lợi = 3*3*3 = 27. Xác suất = 27/84 = 9/28.

3. **Bài toán 3 (Trắc nghiệm):** Có hai hộp chứa bi. Hộp I có 4 bi đỏ và 3 bi xanh. Hộp II có 3 bi đỏ và 5 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp, sau đó lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi từ hộp đó. Nếu hai viên bi lấy ra cùng màu, xác suất để chúng được lấy ra từ hộp I là bao nhiêu?

A. 1/2

B. 3/7

C. 12/25

D. 13/28.

Đáp án đúng: C.

Lời giải ngắn gọn: Gọi H1 là biến cố chọn hộp I, H2 là biến cố chọn hộp II. P(H1) = P(H2) = 1/2. Gọi E là biến cố lấy được 2 bi cùng màu.

P(E|H1): Hộp I có 7 bi (4 đỏ, 3 xanh). Số cách lấy 2 bi cùng màu là C(4,2) (đỏ) + C(3,2) (xanh) = 6 + 3 = 9. Tổng số cách lấy 2 bi từ Hộp I là C(7,2) = 21. Vậy P(E|H1) = 9/21 = 3/7. P(E|H2): Hộp II có 8 bi (3 đỏ, 5 xanh).

Số cách lấy 2 bi cùng màu là C(3,2) (đỏ) + C(5,2) (xanh) = 3 + 10 = 13. Tổng số cách lấy 2 bi từ Hộp II là C(8,2) = 28. Vậy P(E|H2) = 13/28. Xác suất để lấy được 2 bi cùng màu là P(E) = P(E|H1)P(H1) + P(E|H2)P(H2) = (3/7)*(1/2) + (13/28)*(1/2) = 3/14 + 13/56 = 12/56 + 13/56 = 25/56.

Xác suất cần tìm là P(H1|E) = P(E|H1)P(H1) / P(E) = (3/7)*(1/2) / (25/56) = (3/14) / (25/56) = 3/14 * 56/25 = 12/25.

4. **Bài toán 4 (Tự luận):** Một bảng vuông 3×3 ô (tổng cộng 9 ô). Người ta đặt ngẫu nhiên 3 con cờ màu đỏ và 6 con cờ màu xanh vào 9 ô đó (mỗi con cờ là duy nhất và khác nhau). Tính xác suất để mỗi hàng của bảng đều có ít nhất một con cờ màu đỏ.

Đáp án: 9/28.

Lời giải ngắn gọn:

Tổng số cách sắp xếp 9 con cờ là 9!. Tuy nhiên, vì điều kiện chỉ phụ thuộc vào vị trí của cờ đỏ, ta chỉ cần xét số cách chọn vị trí cho 3 con cờ đỏ: C(9,3) = (9*8*7)/(3*2*1) = 84 cách. Gọi R1, R2, R3 là số cờ đỏ ở hàng 1, hàng 2, hàng 3. Cần R1>=1, R2>=1, R3>=1. Tổng số cờ đỏ là 3. Vậy chỉ có một cách phân bố số cờ đỏ là (1,1,1) vào các hàng. Mỗi hàng có 3 ô.

Số cách chọn vị trí cho 3 cờ đỏ: Chọn 1 vị trí từ hàng 1: C(3,1) = 3 cách. Chọn 1 vị trí từ hàng 2: C(3,1) = 3 cách. Chọn 1 vị trí từ hàng 3: C(3,1) = 3 cách. Tổng số cách chọn vị trí thuận lợi cho cờ đỏ = 3*3*3 = 27. Xác suất = 27 / C(9,3) = 27/84 = 9/28.

5. **Bài toán 5 (Tự luận):** Một đa giác đều 8 cạnh ${A_1}{A_2}…{A_8}$. Người ta có 4 bóng đèn màu đỏ và 4 bóng đèn màu xanh (tất cả các bóng đèn đều khác nhau). Lắp ngẫu nhiên 8 bóng đèn này vào 8 đỉnh của đa giác. Tính xác suất để mỗi cặp đỉnh đối diện của đa giác đều có ít nhất một bóng đèn màu đỏ.

Đáp án: 8/35.

Lời giải ngắn gọn: Tổng số cách sắp xếp 8 bóng đèn là 8!. Tuy nhiên, vì điều kiện chỉ phụ thuộc vào vị trí của bóng đỏ, ta chỉ cần xét số cách chọn vị trí cho 4 bóng đỏ: C(8,4) = (8*7*6*5)/(4*3*2*1) = 70 cách.

Có 4 cặp đỉnh đối diện trong đa giác 8 cạnh: P1={A1,A5}, P2={A2,A6}, P3={A3,A7}, P4={A4,A8}.

Mỗi cặp có 2 đỉnh, và các cặp này đôi một không có đỉnh chung.

Ta có 4 bóng đèn màu đỏ. Để mỗi cặp đỉnh đối diện có ít nhất một bóng đỏ, ta phải phân bố 1 bóng đỏ vào mỗi cặp. Số cách chọn vị trí cho 4 bóng đỏ: Chọn 1 vị trí từ P1: C(2,1) = 2 cách. Chọn 1 vị trí từ P2: C(2,1) = 2 cách. Chọn 1 vị trí từ P3: C(2,1) = 2 cách. Chọn 1 vị trí từ P4: C(2,1) = 2 cách. Tổng số cách chọn vị trí thuận lợi = 2*2*2*2 = 16. Xác suất = 16 / C(8,4) = 16/70 = 8/35.