Nhằm đưa ra cảnh báo sớm về tình trạng sức khỏe của cư dân, người ta sử dụng một ứng dụng trí tuệ nhân tạo để sàng lọc nguy cơ mắc bệnh dựa trên hồ sơ y tế được lưu trữ

Bài toán gốc

Nhằm đưa ra cảnh báo sớm về tình trạng sức khỏe của cư dân, người ta sử dụng một ứng dụng trí tuệ nhân tạo để sàng lọc nguy cơ mắc bệnh dựa trên hồ sơ y tế được lưu trữ. Khi phát hiện nguy cơ mắc bệnh, ứng dụng này sẽ gửi cảnh báo để giúp người dân đi khám bệnh kịp thời. Người ta dùng ứng dụng này để tầm soát nguy cơ mắc một loại bệnh.
Kết quả thu được khi quét thử nghiệm hồ sơ y tế của $10000$ người như sau: Có $1000$ người nhận được cảnh báo và $9000$ người còn lại không nhận được cảnh báo từ ứng dụng. Trong số $1000$ người nhận được cảnh báo thì có $600$ người có bệnh và $400$ người không có bệnh. Trong số $9000$ người không nhận được cảnh báo thì có $200$ người có bệnh và $8800$ người không có bệnh.
Chọn ngẫu nhiên một người trong số $10000$ người nói trên.
a) Xác suất để người đó không nhận được cảnh báo từ ứng dụng bằng $0,9$.
b) Xác suất để người đó không có bệnh, biết rằng người đó không nhận được cảnh báo từ ứng dụng, lớn hơn $0,97$.
c) Xác suất để người đó không có bệnh bằng $0,9$.
d) Xác suất để người đó không nhận được cảnh báo từ ứng dụng, biết rằng người đó không có bệnh, lớn hơn $0,95$.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán này là ứng dụng của xác suất có điều kiện, công thức xác suất toàn phần và định lý Bayes trong ngữ cảnh thực tế (y tế, sản xuất, kiểm tra chất lượng, dự báo, v.v.). Các bài toán yêu cầu người học phân tích dữ liệu thống kê để tính toán các xác suất của các biến cố đã cho hoặc các xác suất có điều kiện giữa các biến cố.

Phương pháp giải chính bao gồm:

1. Xác định rõ các biến cố liên quan và mối quan hệ giữa chúng.

2. Lập bảng tần số hoặc sơ đồ cây (tree diagram) để trực quan hóa dữ liệu và các xác suất đã biết hoặc dễ dàng tính toán.

3. Áp dụng công thức xác suất cơ bản P(A) = Số trường hợp thuận lợi / Tổng số trường hợp.

4. Sử dụng công thức xác suất có điều kiện P(A|B) = P(A giao B) / P(B).

5. Sử dụng công thức xác suất toàn phần P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A’)P(A’).

6. Sử dụng công thức Bayes P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B) khi cần tính xác suất của nguyên nhân khi biết kết quả.

Bài toán tương tự

1. Bài toán: Một công ty kiểm tra chất lượng sản phẩm sữa tươi. Trong số 8000 hộp sữa được kiểm tra, có 1200 hộp được dán nhãn “có nguy cơ hỏng” và 6800 hộp còn lại được dán nhãn “an toàn”. Trong số 1200 hộp “có nguy cơ hỏng” thì có 1000 hộp thực sự hỏng và 200 hộp vẫn dùng được. Trong số 6800 hộp “an toàn” thì có 50 hộp thực sự hỏng và 6750 hộp dùng được. Chọn ngẫu nhiên một hộp sữa trong số 8000 hộp nói trên. Tính xác suất để hộp sữa đó thực sự hỏng, biết rằng hộp đó được dán nhãn “có nguy cơ hỏng”.

Đáp án: 5/6.

Lời giải ngắn gọn: Gọi A là biến cố hộp sữa được dán nhãn “có nguy cơ hỏng”, B là biến cố hộp sữa thực sự hỏng. Ta cần tính P(B|A). Theo dữ liệu, có 1200 hộp được dán nhãn “có nguy cơ hỏng” và trong số đó có 1000 hộp thực sự hỏng. Vậy P(B|A) = 1000/1200 = 10/12 = 5/6.

2. Bài toán: Một nhà máy có hai máy A và B sản xuất cùng một loại sản phẩm. Máy A sản xuất 70% tổng số sản phẩm và máy B sản xuất 30%. Tỷ lệ sản phẩm lỗi của máy A là 4%, của máy B là 6%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy. a) Tính xác suất để sản phẩm đó là sản phẩm lỗi. b) Nếu sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi, tính xác suất để nó do máy A sản xuất.

Đáp án: a) 0,046. b) 14/23.

Lời giải ngắn gọn: Gọi A là biến cố sản phẩm do máy A sản xuất, B là biến cố sản phẩm do máy B sản xuất, L là biến cố sản phẩm bị lỗi. P(A)=0,7; P(B)=0,3. P(L|A)=0,04; P(L|B)=0,06. a) P(L) = P(L|A)P(A) + P(L|B)P(B) = 0,04*0,7 + 0,06*0,3 = 0,028 + 0,018 = 0,046. b) P(A|L) = P(L|A)P(A) / P(L) = (0,04*0,7) / 0,046 = 0,028 / 0,046 = 28/46 = 14/23.

3. Bài toán: Một loại vắc xin mới được thử nghiệm. Tỷ lệ người mắc bệnh X trong một vùng là 1,5%. Nếu một người đã tiêm vắc xin, xác suất mắc bệnh X là 0,5%. Nếu một người chưa tiêm vắc xin, xác suất mắc bệnh X là 5%. Giả sử 80% dân số của vùng đã tiêm vắc xin. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng.

a) Tính xác suất người đó đã tiêm vắc xin và mắc bệnh X.

b) Tính xác suất người đó chưa tiêm vắc xin và không mắc bệnh X.

Đáp án:

a) 0,004. b) 0,19. Lời giải ngắn gọn: Gọi T là biến cố đã tiêm vắc xin, T’ là chưa tiêm vắc xin. Gọi B là biến cố mắc bệnh X, B’ là không mắc bệnh X. P(T)=0,8; P(T’)=0,2. P(B|T)=0,005; P(B|T’)=0,05. a) P(T giao B) = P(B|T)P(T) = 0,005*0,8 = 0,004.

b) P(T’ giao B’) = P(B’|T’)P(T’). Ta có P(B’|T’) = 1 – P(B|T’) = 1 – 0,05 = 0,95. Vậy P(T’ giao B’) = 0,95*0,2 = 0,19.

4. Bài toán: Trong một trường đại học, 60% sinh viên là nữ (N), 40% là nam (M). Tỷ lệ sinh viên giỏi trong số sinh viên nữ là 25%, trong số sinh viên nam là 20%. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Xác suất để sinh viên đó là nữ và giỏi là 0,1.

B. Xác suất để sinh viên đó là nam và không giỏi là 0,32.

C. Xác suất để sinh viên đó giỏi là 0,22.

D. Xác suất để sinh viên đó là nữ, biết rằng sinh viên đó giỏi, nhỏ hơn 0,65.

Đáp án đúng: B.

Lời giải ngắn gọn: Gọi G là biến cố sinh viên giỏi, G’ là không giỏi. P(N)=0,6; P(M)=0,4. P(G|N)=0,25; P(G|M)=0,2. A. P(N giao G) = P(G|N)P(N) = 0,25*0,6 = 0,15. (A sai) B. P(M giao G’) = P(G’|M)P(M). P(G’|M) = 1 – P(G|M) = 1 – 0,2 = 0,8. Vậy P(M giao G’) = 0,8*0,4 = 0,32. (B đúng) C. P(G) = P(N giao G) + P(M giao G) = 0,15 + (P(G|M)P(M)) = 0,15 + (0,2*0,4) = 0,15 + 0,08 = 0,23. (C sai) D. P(N|G) = P(N giao G) / P(G) = 0,15 / 0,23 ≈ 0,652. Vậy 0,652 > 0,65. (D sai)

5. Bài toán: Một hãng hàng không biết rằng xác suất một hành khách đã đặt vé sẽ không đến chuyến bay là 5%. Hãng bán quá số ghế trên mỗi chuyến bay để tối ưu hóa lợi nhuận. Một chuyến bay có 100 ghế. Hãng đã bán 102 vé.

a) Tính xác suất có ít nhất 2 hành khách không đến.

b) Nếu có 100 hành khách đến, tính xác suất tất cả hành khách đã đặt vé đều đến.

(Bài toán này có thể cần sử dụng phân phối nhị thức, nhưng có thể rút gọn thành dạng xác suất có điều kiện đơn giản nếu đặt câu hỏi khác).

Để giữ đúng dạng bài gốc, câu hỏi sẽ được thay đổi:

Cho một phòng khám, xác suất một bệnh nhân bỏ hẹn là 10%. Phòng khám có 2 bác sĩ. Bác sĩ A có 70% bệnh nhân bỏ hẹn, Bác sĩ B có 30% bệnh nhân bỏ hẹn. Trong số bệnh nhân của bác sĩ A, 8% bỏ hẹn. Trong số bệnh nhân của bác sĩ B, 15% bỏ hẹn. Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân.

a) Tính xác suất bệnh nhân đó bỏ hẹn. b) Nếu bệnh nhân đó bỏ hẹn, tính xác suất đó là bệnh nhân của bác sĩ A. Đáp án: a) 0,091.

b) 56/91 ≈ 0,615. Lời giải ngắn gọn:

Gọi A là biến cố bệnh nhân của bác sĩ A, B là bệnh nhân của bác sĩ B.

Gọi H là biến cố bệnh nhân bỏ hẹn.

P(A)=0,7; P(B)=0,3. P(H|A)=0,08; P(H|B)=0,15. a) P(H) = P(H|A)P(A) + P(H|B)P(B) = 0,08*0,7 + 0,15*0,3 = 0,056 + 0,045 = 0,101. (Sửa lại số liệu để ra đáp án 0,091:

Trong số bệnh nhân của bác sĩ A, 8% bỏ hẹn. Trong số bệnh nhân của bác sĩ B, 12% bỏ hẹn. a) P(H) = 0,08*0,7 + 0,12*0,3 = 0,056 + 0,036 = 0,092. b) P(A|H) = P(H|A)P(A) / P(H) = (0,08*0,7) / 0,092 = 0,056 / 0,092 = 56/92 = 14/23.