Một chiếc bát thuỷ tinh có bề dày của phần xung quanh là một khối tròn xoay, khi xoay hình phẳng $D$ quanh một đường thẳng $a$ bất kì nào đó mà khi gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên trục là decimét) vào hình phẳng $D$ tại một vị trí thích hợp, thì đường thẳng $a$ sẽ trùng với trục $Ox$

Một chiếc bát thuỷ tinh có bề dày của phần xung quanh là một khối tròn xoay, khi xoay hình phẳng $D$ quanh một đường thẳng $a$ bất kì nào đó mà khi gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên trục là decimét) vào hình phẳng $D$ tại một vị trí thích hợp, thì đường thẳng $a$ sẽ trùng với trục $Ox$. Khi đó, hình phẳng $D$ được giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=x+\dfrac{1}{x}$, $y=x$ và hai đường thẳng $x=1$, $x=4$. Thể tích của bề dày chiếc bát thuỷ tinh đó bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đáp án: 21,2

Lời giải: Gọi $V_1$ là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x+\dfrac{1}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=4$ quay quanh trục $Ox$.
Khi đó $V_1=\pi\displaystyle\int\limits_1^4\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2\mathrm{d}x=\dfrac{111\pi}{4}$ dm$^3$.
Gọi $V_2$ là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=4$ quay quanh trục $Ox$.
Khi đó $V_2=\pi\displaystyle\int\limits_1^4x^2\mathrm{d}x=21\pi$ dm$^3$.
Vậy thể tích của bề dày chiếc bát thuỷ tinh là $V=V_1-V_2=\dfrac{111\pi}{4}-21\pi=\dfrac{27\pi}{4}\approx 21{,}2$ dm$^3$.