Cho phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=1$ và $x=\sqrt{7}$, biết rằng khi cắt vật thể bởi
mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($1\le x\le \sqrt{7}$) thì được thiết diện là
một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $2x$ và $\sqrt{x^2+1}$

Cho phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=1$ và $x=\sqrt{7}$, biết rằng khi cắt vật thể bởi
mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($1\le x\le \sqrt{7}$) thì được thiết diện là
một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $2x$ và $\sqrt{x^2+1}$. Thể tích của phần vật thể đã cho bằng $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ ($c$ là số nguyên tố, $b{<}6$, $a$, $b$, $c\in\mathbb{N}$). Tính $abc$?
\par
Đáp án: 84

Lời giải: Diện tích thiết diện là $S(x)=2x\cdot \sqrt{x^2+1}$.
Thể tích phần vật thể đã cho là $V=\displaystyle\int\limits_{1}^{\sqrt{7}} 2x\cdot \sqrt{x^2+1}\mathrm{d}x$.
Đặt $t=\sqrt{x^2+1}\Leftrightarrow t^2=x^2+1\Leftrightarrow t\mathrm{d}t=x\mathrm{d}x$.
Với $x=1\Leftrightarrow t=\sqrt{2}$, $x=\sqrt{7}\Leftrightarrow t=2\sqrt{2}$.
Suy ra $V=\displaystyle\int\limits_{\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}} t^2\mathrm{d}t=\dfrac{14\sqrt{2}}{3}$.
Vậy $a=14$, $b=2$, $c=3$ nên $abc=84$.