Gọi $H$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=-x^2+4x$ và trục hoành

Gọi $H$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=-x^2+4x$ và trục hoành. Hai đường thẳng $y=m$ và $y=n$ chia $(H)$ thành ba phần có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ). Giá trị của biểu thức $T=(4-m)^3+(4-n)^3$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Đáp án: 35,6

Lời giải: Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=-x^2+4x$ và trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=0$, $x=2$.
Khi đó $S=\displaystyle\int\limits_{0}^{2} (-x^2+4x)\mathrm{d}x =\dfrac{16}{3}$.
Đường thẳng $y=m$ và $y=n$ chia $S$ thành ba phần bằng nhau có diện tích theo thứ tự từ trên xuống là $S_1$; $S_2$; $S_3$.
Gọi hoành độ các giao điểm của parabol với hai đường thẳng như hình bên.
Ta có
$\begin{array}{l} S_1=2\displaystyle\int\limits_{a}^{2} (-x^2+4x-m)\mathrm{d}x =\dfrac{1}{3}S \Leftrightarrow \left(-\dfrac{x^3}{3}+2x^2-mx\right)\Big|_{a}^{2}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{16}{3}\\ \Leftrightarrow \left(\dfrac{16}{3}-2m\right)-\left(-\dfrac{a^3}{3}+2a^2-ma\right)=\dfrac{16}{9}(1). \end{array}$

Mà $x=a$ là nghiệm của phương trình $-x^2+4x=m$ nên ta có $-a^2+4a=m(2)$.\\ Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được $-\dfrac{2a^3}{3}+4a^2-8a+\dfrac{32}{9}=0\Leftrightarrow a\approx 0{,}613277$.\\ Suy ra $m=-a^2+4a\approx 2{,}077$.\\ Tương tự ta có
$\begin{array}{l} S_1+S_2=\dfrac{2}{3}S\\ \Rightarrow 2\displaystyle\int\limits_{b}^{2} (-x^2+4x-n)\mathrm{d}x =\dfrac{2}{3}\cdot 2\cdot\displaystyle\int\limits_{0}^{2} (-x^2+4x)\mathrm{d}x\\ \Leftrightarrow -\dfrac{2}{3}b^3+4b^2-8b+\dfrac{16}{9}=0\\ \Leftrightarrow b\approx 0{,}252839\Rightarrow n=-b^2+4b=0{,}947428. \end{array}$
Khi đó $T=(4-m)^3+(4-n)^3=\dfrac{320}{9}\approx35{,}6$.