Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là $6$cm, chiều cao trong lòng cốc là $10$cm đang đựng một lượng nước

Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là $6$cm, chiều cao trong lòng cốc là $10$cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc theo đơn vị cm$^3$, biết nếu nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

\par
Đáp án: 240

Lời giải: Đặt $R=6$cm, $h=10$cm. Gán hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $x$ ($-6\leq x\leq 6$) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là $S(x)$.
Ta thấy thiết diện đó là một tam giác vuông, giả sử là tam giác $ABC$ vuông tại $B$ như trong hình vẽ.
Ta có $S(x)=S_{ABC}=\dfrac{1}{2} AB\cdot BC=\dfrac{1}{2} BC^2\cdot \tan \alpha=\dfrac{1}{2} \big(R^2-x^2\big)\dfrac{h}{R}=\dfrac{5\big(36-x^2\big)}{6}$.
Vậy thể tích lượng nước trong cốc là $V=\displaystyle\int\limits_{-6}^6 S(x)\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits_{-6}^6\dfrac{5\big(36-x^2\big)}{6} \mathrm{d}x=240$(cm$^3$).