Một người gieo một con xúc xắc cân đối. Nếu xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 thì rút 2 viên bi từ hộp I (4 đỏ, 6 xanh), ngược lại rút 2 viên bi từ hộp II (5 đỏ, 5 xanh). Giả sử rút được 1 bi đỏ và 1 bi xanh, tính xác suất để con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3.

Dạng toán

Bài toán thuộc dạng Xác suất có điều kiện và Công thức Bayes ở mức độ vận dụng cao. Bài toán yêu cầu tính xác suất của một nguyên nhân (biến cố xảy ra trước) khi đã biết kết quả (biến cố xảy ra sau).

Phương pháp giải

• Bước 1: Lập hệ biến cố đầy đủ. Gọi $B_1, B_2, …, B_n$ là các biến cố nguyên nhân xung khắc và vét cạn mọi trường hợp. Tính $P(B_i)$.
• Bước 2: Gọi $A$ là biến cố kết quả mà đề bài cho biết đã xảy ra. Tính các xác suất có điều kiện $P(A|B_i)$.
• Bước 3: Tính xác suất toàn phần $P(A) = \sum P(B_i)\cdot P(A|B_i)$.
• Bước 4: Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất có điều kiện ngược lại (xác suất nguyên nhân khi biết kết quả): $P(B_k|A) = \frac{P(B_k)\cdot P(A|B_k)}{P(A)}$.

Đề bài

Một người gieo một con xúc xắc cân đối. Nếu xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 thì rút 2 viên bi từ hộp I (gồm 4 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh), ngược lại thì rút 2 viên bi từ hộp II (gồm 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh). Giả sử người đó rút được đúng 1 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh. Tính xác suất để con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3.

Lời giải chi tiết

Gọi $B_1$ là biến cố ‘Con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3’. Các mặt chia hết cho 3 là 3 và 6. Do đó xác suất là: $P(B_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Gọi $B_2$ là biến cố ‘Con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm không chia hết cho 3’. Ta có $P(B_2) = 1 – P(B_1) = \frac{2}{3}$.

Dễ thấy $B_1, B_2$ lập thành một hệ biến cố đầy đủ.

Gọi $A$ là biến cố ‘Rút được 1 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh’. Ta cần tính các xác suất có điều kiện:

• Nếu $B_1$ xảy ra (rút ở hộp I có 4 đỏ, 6 xanh): Chọn 2 bi từ 10 bi có $C^2_{10} = 45$ cách. Chọn 1 đỏ, 1 xanh có $C^1_4 \cdot C^1_6 = 24$ cách. Suy ra $P(A|B_1) = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$.
• Nếu $B_2$ xảy ra (rút ở hộp II có 5 đỏ, 5 xanh): Chọn 2 bi từ 10 bi có $C^2_{10} = 45$ cách. Chọn 1 đỏ, 1 xanh có $C^1_5 \cdot C^1_5 = 25$ cách. Suy ra $P(A|B_2) = \frac{25}{45} = \frac{5}{9}$.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất để rút được 1 bi đỏ và 1 bi xanh là:

$P(A) = P(B_1)\cdot P(A|B_1) + P(B_2)\cdot P(A|B_2) = \frac{1}{3}\cdot\frac{8}{15} + \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{9} = \frac{8}{45} + \frac{10}{27} = \frac{24}{135} + \frac{50}{135} = \frac{74}{135}$.

Đề bài yêu cầu tính xác suất để xúc xắc xuất hiện mặt chia hết cho 3 ($B_1$) với điều kiện $A$ đã xảy ra. Áp dụng công thức Bayes, ta có:

$P(B_1|A) = \frac{P(B_1)\cdot P(A|B_1)}{P(A)} = \frac{24/135}{74/135} = \frac{24}{74} = \frac{12}{37}$.

Kết luận: Xác suất cần tìm là $\frac{12}{37}$.

---

Bài tập làm thêm (Tương tự và Mở rộng)

Bài 1: Một xí nghiệp có 3 phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm, chiếm tỉ lệ tương ứng là 20%, 30%, 50% tổng sản lượng. Tỉ lệ phế phẩm của các phân xưởng lần lượt là 1%, 2%, 3%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của xí nghiệp thì thấy nó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng 1 sản xuất.

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: $\frac{2}{23}$

Hướng dẫn: Gọi $B_i$ là bc SP do phân xưởng $i$ sản xuất. $P(B_1)=0.2, P(B_2)=0.3, P(B_3)=0.5$. Gọi $A$ là bc SP là phế phẩm. $P(A|B_1)=0.01, P(A|B_2)=0.02, P(A|B_3)=0.03$. Xác suất toàn phần: $P(A) = 0.2\cdot0.01 + 0.3\cdot0.02 + 0.5\cdot0.03 = 0.023$. Theo công thức Bayes: $P(B_1|A) = \frac{0.002}{0.023} = \frac{2}{23}$.

Bài 2: Trong một bài thi trắc nghiệm, xác suất học sinh biết làm một câu hỏi là 0,6. Nếu biết làm, học sinh sẽ chọn đáp án đúng với xác suất 100%. Nếu không biết làm, học sinh chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 đáp án (xác suất đúng là 0,25). Giả sử học sinh đó trả lời đúng câu hỏi, tính xác suất để học sinh đó thực sự biết làm.

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: $\frac{6}{7}$

Hướng dẫn: Hệ đầy đủ: $B_1$ (biết làm, $P=0.6$), $B_2$ (không biết làm, $P=0.4$). Biến cố $A$ (trả lời đúng). $P(A|B_1)=1$, $P(A|B_2)=0.25$. $P(A) = 0.6\cdot1 + 0.4\cdot0.25 = 0.7$. Xác suất cần tìm: $P(B_1|A) = \frac{0.6}{0.7} = \frac{6}{7}$.

Bài 3: Hộp 1 có 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Hộp 2 có 4 bi đỏ và 4 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2. Sau đó, từ hộp 2 lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi. Biết rằng viên bi lấy ra từ hộp 2 có màu đỏ, tính xác suất viên bi chuyển từ hộp 1 sang cũng là màu đỏ.

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: $\frac{15}{23}$

Hướng dẫn: Hệ đầy đủ cho bi chuyển: $B_1$ (Đỏ, $P=3/5$), $B_2$ (Xanh, $P=2/5$). Gọi $A$ là bc lấy được bi đỏ từ hộp 2. Nếu $B_1$ xảy ra, hộp 2 có 5 Đỏ, 4 Xanh $\Rightarrow P(A|B_1) = 5/9$. Nếu $B_2$ xảy ra, hộp 2 có 4 Đỏ, 5 Xanh $\Rightarrow P(A|B_2) = 4/9$. $P(A) = \frac{3}{5}\cdot\frac{5}{9} + \frac{2}{5}\cdot\frac{4}{9} = \frac{23}{45}$. Theo Bayes: $P(B_1|A) = \frac{15/45}{23/45} = \frac{15}{23}$.

Bài 4: Một trạm viễn thông phát hai loại tín hiệu 0 và 1 với xác suất tương ứng là 0,7 và 0,3. Do nhiễu đường truyền, tín hiệu 0 bị thu sai thành 1 với xác suất 0,1; tín hiệu 1 bị thu sai thành 0 với xác suất 0,2. Giả sử đài thu nhận được tín hiệu 1, tính xác suất để đài phát thực tế đã phát đi tín hiệu 0.

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: $\frac{7}{31}$

Hướng dẫn: $B_1$ (phát 0, $P=0.7$), $B_2$ (phát 1, $P=0.3$). Gọi $A$ là nhận tín hiệu 1. $P(A|B_1) = 0.1$ (nhiễu sai). $P(A|B_2) = 0.8$ (không nhiễu, $1-0.2$). $P(A) = 0.7\cdot0.1 + 0.3\cdot0.8 = 0.31$. Xác suất cần tìm: $P(B_1|A) = \frac{0.07}{0.31} = \frac{7}{31}$.

Bài 5: Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào một tấm bia độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ 1 là 0,7; của xạ thủ 2 là 0,8. Kết quả sau khi bắn phát hiện trên bia có đúng 1 vết đạn. Tính xác suất viên đạn đó là do xạ thủ thứ nhất bắn trúng.

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: $\frac{7}{19}$

Hướng dẫn: Gọi $A$ là bc có đúng 1 vết đạn. $A$ xảy ra khi (X1 trúng, X2 trượt) hoặc (X1 trượt, X2 trúng). $P(A) = 0.7\cdot0.2 + 0.3\cdot0.8 = 0.14 + 0.24 = 0.38$. Phần đóng góp của X1 bắn trúng vào biến cố $A$ là $0.7\cdot0.2 = 0.14$. Xác suất cần tìm: $\frac{0.14}{0.38} = \frac{7}{19}$.