Bài toán gốc
Tìm $\int{\dfrac{x+6}{3x+10}\text{d}x}$
A. $\dfrac{1}{3}x+\dfrac{8}{9}\ln (3x+10)+C$
B. $\dfrac{1}{3}x+\dfrac{8}{9}\ln |3x+10|+C$
C. $\dfrac{1}{3}+\dfrac{8}{9}\ln (3x+10)+C$
D. $\dfrac{1}{3}+\dfrac{8}{9}\ln |3x+10|+C$
Lời giải: Ta có $\dfrac{x+6}{3x+10}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{+8.\dfrac{1}{3x+10}}{3}$.
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán tính tích phân của hàm phân thức hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất, có dạng $\int \frac{ax+b}{cx+d} dx$. Phương pháp giải chung là thực hiện phép chia đa thức hoặc biến đổi đại số ở tử số để tách biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng của một hằng số và một phân thức đơn giản có dạng $\frac{k}{cx+d}$. Sau đó, áp dụng công thức tích phân cơ bản: $\int k\text{d}x = kx + C$ và $\int \frac{1}{ax+b}\text{d}x = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C$.
Bài toán tương tự
1. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \dfrac{2x+1}{x+3}$.\n\nA. $F(x) = 2x – 5\ln|x+3| + C$\nB. $F(x) = 2x + 5\ln|x+3| + C$\nC. $F(x) = 2 + \frac{5}{x+3} + C$\nD. $F(x) = 2x – \ln|x+3| + C$\n\nĐáp án đúng: A\nLời giải ngắn gọn: Ta có $\dfrac{2x+1}{x+3} = \dfrac{2(x+3) – 6 + 1}{x+3} = 2 – \dfrac{5}{x+3}$. Do đó, $\int \dfrac{2x+1}{x+3}\text{d}x = \int (2 – \dfrac{5}{x+3})\text{d}x = 2x – 5\ln|x+3| + C$.
2. Tìm $\int{\dfrac{4x-5}{2x-3}\text{d}x}$.\n\nA. $2x + \ln|2x-3| + C$\nB. $2x + 2\ln|2x-3| + C$\nC. $2x + \frac{1}{2}\ln|2x-3| + C$\nD. $4x + \frac{1}{2}\ln|2x-3| + C$\n\nĐáp án đúng: C\nLời giải ngắn gọn: Ta có $\dfrac{4x-5}{2x-3} = \dfrac{2(2x-3) + 6 – 5}{2x-3} = 2 + \dfrac{1}{2x-3}$. Do đó, $\int \left(2 + \dfrac{1}{2x-3}\right)\text{d}x = 2x + \frac{1}{2}\ln|2x-3| + C$.
3. Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{x-1}{5x+2}$ là:\n\nA. $\frac{1}{5}x – \frac{7}{5}\ln|5x+2| + C$\nB. $\frac{1}{5}x + \frac{7}{25}\ln|5x+2| + C$\nC. $\frac{1}{5}x – \frac{7}{25}\ln|5x+2| + C$\nD. $\frac{1}{5}x – \frac{1}{25}\ln|5x+2| + C$\n\nĐáp án đúng: C\nLời giải ngắn gọn: Ta có $\dfrac{x-1}{5x+2} = \dfrac{\frac{1}{5}(5x+2) – \frac{2}{5} – 1}{5x+2} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{-7/5}{5x+2} = \frac{1}{5} – \dfrac{7}{5(5x+2)}$. Do đó, $\int f(x)\text{d}x = \frac{1}{5}x – \frac{7}{5} \cdot \frac{1}{5}\ln|5x+2| + C = \frac{1}{5}x – \frac{7}{25}\ln|5x+2| + C$.
4. Tính tích phân $I = \int{\dfrac{6x+5}{3x+5}\text{d}x}$.\n\nA. $2x – 5\ln|3x+5| + C$\nB. $2x + \frac{5}{3}\ln|3x+5| + C$\nC. $2x – \frac{5}{3}\ln|3x+5| + C$\nD. $2x – \frac{5}{3}\ln(3x+5) + C$\n\nĐáp án đúng: C\nLời giải ngắn gọn: Ta có $\dfrac{6x+5}{3x+5} = \dfrac{2(3x+5) – 10 + 5}{3x+5} = 2 – \dfrac{5}{3x+5}$. Do đó, $I = \int \left(2 – \dfrac{5}{3x+5}\right)\text{d}x = 2x – 5 \cdot \frac{1}{3} \ln|3x+5| + C = 2x – \frac{5}{3}\ln|3x+5| + C$.
5. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{5x+2}{2x+1}$.\n\nA. $\frac{5}{2}x + \frac{1}{4}\ln|2x+1| + C$\nB. $\frac{5}{2}x – \frac{1}{4}\ln|2x+1| + C$\nC. $5x – \frac{1}{4}\ln|2x+1| + C$\nD. $\frac{5}{2}x – \frac{1}{2}\ln|2x+1| + C$\n\nĐáp án đúng: B\nLời giải ngắn gọn: Ta có $\dfrac{5x+2}{2x+1} = \dfrac{\frac{5}{2}(2x+1) – \frac{5}{2} + 2}{2x+1} = \dfrac{5}{2} + \dfrac{-1/2}{2x+1} = \frac{5}{2} – \dfrac{1}{2(2x+1)}$. Do đó, $\int f(x)\text{d}x = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \ln|2x+1| + C = \frac{5}{2}x – \frac{1}{4}\ln|2x+1| + C$.