Bài toán gốc
Tìm $\int{\left(-2\sin 7x+7\cos 2x+5 \right)\text{d}x}$
A. $\dfrac{2}{7}\cos 7x+\dfrac{7}{2}\sin 2x+5x+C$
B. $-14\cos 7x+14\sin 2x+5x+C$
C. $14\sin 7x+14\cos 2x+5x+C$
D. $-\dfrac{2}{7}\sin 7x-\dfrac{7}{2}\cos 2x+5x+C$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng bài toán tìm nguyên hàm cơ bản của hàm số tổ hợp dạng $A\sin(ax) + B\cos(bx) + C$. Phương pháp giải là áp dụng các công thức nguyên hàm của hàm lượng giác cơ bản: $\int \sin(ax+b) dx = -\dfrac{1}{a} \cos(ax+b) + C$ và $\int \cos(ax+b) dx = \dfrac{1}{a} \sin(ax+b) + C$, cùng với quy tắc nguyên hàm của tổng và tích với hằng số.
Bài toán tương tự
{\bf 1.} Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 6\sin 3x – 4\cos 5x + 1$. \n\nĐáp án: $-2\cos 3x – \dfrac{4}{5}\sin 5x + x + C$. \nLời giải ngắn gọn: $F(x) = 6 \left( -\dfrac{1}{3} \cos 3x \right) – 4 \left( \dfrac{1}{5} \sin 5x \right) + x + C = -2\cos 3x – \dfrac{4}{5}\sin 5x + x + C$. \n\n{\bf 2.} Tìm $\int{\left(10\cos 5x – 3\sin 2x – 8 \right)\text{d}x}$. \n\nĐáp án: $2\sin 5x + \dfrac{3}{2}\cos 2x – 8x + C$. \nLời giải ngắn gọn: $\int 10\cos 5x dx = 10 \cdot \dfrac{1}{5}\sin 5x = 2\sin 5x$. $\int -3\sin 2x dx = -3 \left( -\dfrac{1}{2}\cos 2x \right) = \dfrac{3}{2}\cos 2x$. Kết hợp $\int -8 dx = -8x$, ta được $2\sin 5x + \dfrac{3}{2}\cos 2x – 8x + C$. \n\n{\bf 3.} Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{2} \cos(4x) + 2\sin(\dfrac{x}{3}) – 3$. \nA. $\dfrac{1}{8}\sin 4x – 6\cos \dfrac{x}{3} – 3x + C$ \nB. $2\sin 4x + \dfrac{2}{3}\cos \dfrac{x}{3} – 3x + C$ \nC. $\dfrac{1}{8}\sin 4x + 6\cos \dfrac{x}{3} – 3x + C$ \nD. $-\dfrac{1}{8}\sin 4x – 6\cos \dfrac{x}{3} – 3x + C$ \n\nĐáp án đúng: A. \nLời giải ngắn gọn: $\int f(x) dx = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \sin(4x) + 2 \left(-\dfrac{1}{1/3} \cos(\dfrac{x}{3})\right) – 3x + C = \dfrac{1}{8}\sin 4x – 6\cos \dfrac{x}{3} – 3x + C$. \n\n{\bf 4.} Tính nguyên hàm: $\int{\left(-9\sin 3x + 8\cos 4x + 12 \right)\text{d}x}$. \n\nĐáp án: $3\cos 3x + 2\sin 4x + 12x + C$. \nLời giải ngắn gọn: $\int -9\sin 3x dx = -9 \left( -\dfrac{1}{3}\cos 3x \right) = 3\cos 3x$. $\int 8\cos 4x dx = 8 \left( \dfrac{1}{4}\sin 4x \right) = 2\sin 4x$. $\int 12 dx = 12x$. Kết quả: $3\cos 3x + 2\sin 4x + 12x + C$. \n\n{\bf 5.} Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = -8\cos(4x) – 5\sin(10x) + 2$. \nA. $-2\sin 4x + \dfrac{1}{2}\cos 10x + 2x + D$ \nB. $2\sin 4x – \dfrac{1}{2}\cos 10x + 2x + D$ \nC. $-\dfrac{1}{2}\sin 4x + 2\cos 10x + 2x + D$ \nD. $2\sin 4x + \dfrac{1}{2}\cos 10x + 2x + D$ \n\nĐáp án đúng: A. \nLời giải ngắn gọn: $\int f(x) dx = -8 \left( \dfrac{1}{4} \sin 4x \right) – 5 \left( -\dfrac{1}{10} \cos 10x \right) + 2x + D = -2\sin 4x + \dfrac{1}{2}\cos 10x + 2x + D.$