Bài toán gốc
Tìm $\int{\left(\dfrac{-3}{x^7}+\dfrac{10}{x}+10 \right)\text{d}x}$
A. $\dfrac{3}{8}\dfrac{1}{x^8}+10\ln x+10x+C$
B. $\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x^6}+10\ln|x|+10x+C$
C. $18\dfrac{1}{x^6}+10\ln|x|+10x+C$
D. $\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x^6}+10\ln x+10x+C$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán tìm nguyên hàm của tổng các hàm số cơ bản. Hàm số cần tìm nguyên hàm có chứa các hạng tử dạng luỹ thừa âm ($x^{-n}$) và hạng tử nghịch đảo của x ($1/x$). Phương pháp giải là áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản: $\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (áp dụng cho $x^{-n}$ với $n \ne 1$) và $\int \dfrac{1}{x} dx = \ln|x| + C$, cùng với quy tắc nguyên hàm của tổng và tích một hằng số với một hàm số.
Bài toán tương tự
5 bài toán tương tự:
**1.** Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \dfrac{4}{x^5} – \dfrac{5}{x} + 2$.
A. $-\dfrac{1}{x^4} – 5\ln|x| + 2x + C$
B. $\dfrac{-16}{x^6} – 5\ln|x| + 2x + C$
C. $-\dfrac{1}{x^4} + 5\ln|x| + 2x + C$
D. $\dfrac{4}{x^4} – 5\ln|x| + 2x + C$
Đáp án đúng: A. Lời giải: $\int{\left( 4x^{-5} – \dfrac{5}{x} + 2 \right)\text{d}x} = 4\dfrac{x^{-4}}{-4} – 5\ln|x| + 2x + C = -x^{-4} – 5\ln|x| + 2x + C = -\dfrac{1}{x^4} – 5\ln|x| + 2x + C$.
**2.** Tìm $\int{\left(\dfrac{12}{\sqrt{x}} – \dfrac{3}{x^2} – 1 \right)\text{d}x}$.
A. $24\sqrt{x} + \dfrac{3}{x} – x + C$
B. $6\sqrt{x} + \dfrac{3}{x} – x + C$
C. $24\sqrt{x} + \dfrac{3}{x} – 1 + C$
D. $24\sqrt{x} – \dfrac{3}{x} – x + C$
Đáp án đúng: A. Lời giải: $\int{\left( 12x^{-1/2} – 3x^{-2} – 1 \right)\text{d}x} = 12\dfrac{x^{1/2}}{1/2} – 3\dfrac{x^{-1}}{-1} – x + C = 24\sqrt{x} + 3x^{-1} – x + C = 24\sqrt{x} + \dfrac{3}{x} – x + C$.
**3.** Tìm $F(x) = \int{\left( \dfrac{-6}{x^3} + \dfrac{4}{x} – 5 \right)\text{d}x}$.
A. $\dfrac{3}{x^2} + 4\ln|x| – 5x + C$
B. $\dfrac{-3}{x^2} + 4\ln|x| – 5x + C$
C. $\dfrac{2}{x^2} + 4\ln|x| – 5x + C$
D. $\dfrac{3}{x^4} + 4\ln|x| – 5x + C$
Đáp án đúng: A. Lời giải: $\int{\left( -6x^{-3} + \dfrac{4}{x} – 5 \right)\text{d}x} = -6\dfrac{x^{-2}}{-2} + 4\ln|x| – 5x + C = 3x^{-2} + 4\ln|x| – 5x + C = \dfrac{3}{x^2} + 4\ln|x| – 5x + C$.
**4.** Tìm $\int{\left( \dfrac{1}{2x^2} + \dfrac{3}{x} + 7 \right)\text{d}x}$.
A. $-\dfrac{1}{2x} + 3\ln|x| + 7x + C$
B. $\dfrac{1}{2x^3} + 3\ln|x| + 7x + C$
C. $-\dfrac{1}{2x^3} + 3\ln|x| + 7x + C$
D. $-\dfrac{1}{2x} + 3\ln x + 7x + C$
Đáp án đúng: A. Lời giải: $\int{\left( \dfrac{1}{2}x^{-2} + \dfrac{3}{x} + 7 \right)\text{d}x} = \dfrac{1}{2}\dfrac{x^{-1}}{-1} + 3\ln|x| + 7x + C = -\dfrac{1}{2}x^{-1} + 3\ln|x| + 7x + C = -\dfrac{1}{2x} + 3\ln|x| + 7x + C$.
**5.** (Tự luận) Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \dfrac{8}{x^4} – \dfrac{2}{x} + 3$ biết $F(1) = 0$.
Đáp án: $F(x) = -\dfrac{8}{3x^3} – 2\ln|x| + 3x – \dfrac{1}{3}$.
Lời giải ngắn gọn: Nguyên hàm tổng quát là $F(x) = \int{\left( 8x^{-4} – \dfrac{2}{x} + 3 \right)\text{d}x} = -\dfrac{8}{3x^3} – 2\ln|x| + 3x + C$. Sử dụng điều kiện $F(1) = 0$: $-\dfrac{8}{3(1)^3} – 2\ln(1) + 3(1) + C = 0 \Leftrightarrow -\dfrac{8}{3} + 3 + C = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} + C = 0 \Leftrightarrow C = -\dfrac{1}{3}$. Vậy $F(x) = -\dfrac{8}{3x^3} – 2\ln|x| + 3x – \dfrac{1}{3}$.