Bài toán gốc
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=5e^x+1$ là?
A. $5e^x+1+C$.
B. $\dfrac{5}{2}e^x+\dfrac{1}{2}x+C$.
C. $5e^x+x+C$.
D. $-5e^x+\dfrac{1}{2}x+C$.
Lời giải: Ta có $\int{\sin x\text{d}x}=5e^x+x+C$. với $C$ là hằng số.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán yêu cầu tìm họ nguyên hàm (tức là tính tích phân bất định) của một hàm số cho trước. Phương pháp giải là áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản (nguyên hàm của hàm mũ $e^x$, hàm hằng $k$) và quy tắc nguyên hàm của tổng và tích của hằng số với hàm số: $\int (af(x) + bg(x))dx = a\int f(x)dx + b\int g(x)dx$.
Bài toán tương tự
1. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=2\cos x – 3x^2$ là?
A. $2\sin x – x^3 + C$.
B. $-2\sin x – x^3 + C$.
C. $2\sin x – 6x + C$.
D. $2\sin x – 3x^3 + C$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\int (2\cos x – 3x^2)dx = 2\int \cos x dx – 3\int x^2 dx = 2\sin x – 3\frac{x^3}{3} + C = 2\sin x – x^3 + C$.
2. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=4e^x + \dfrac{1}{x}$ (với $x>0$).
A. $4e^x – \dfrac{1}{x^2} + C$.
B. $4e^x + x + C$.
C. $4e^x + \ln|x| + C$.
D. $e^x + \ln|x| + C$.
Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn: Áp dụng công thức cơ bản: $\int 4e^x dx = 4e^x + C_1$ và $\int \dfrac{1}{x} dx = \ln|x| + C_2$. Do đó $\int f(x)dx = 4e^x + \ln|x| + C$.
3. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=(x^2 + 1)^2$ là?
A. $2(x^2+1) \cdot 2x + C$.
B. $\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{2x^3}{3} + x + C$.
C. $\dfrac{x^5}{5} + x^3 + x + C$.
D. $\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{x^3}{3} + x + C$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Khai triển hàm số: $f(x) = x^4 + 2x^2 + 1$. Ta có $\int (x^4 + 2x^2 + 1)dx = \dfrac{x^5}{5} + 2\dfrac{x^3}{3} + x + C$.
4. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=6\sin x – \dfrac{1}{\cos^2 x}$ là?
A. $6\cos x – \tan x + C$.
B. $-6\cos x + \cot x + C$.
C. $-6\cos x – \tan x + C$.
D. $6\cos x – \cot x + C$.
Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\int 6\sin x dx = -6\cos x + C_1$ và $\int \dfrac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C_2$. Vậy $\int f(x)dx = -6\cos x – \tan x + C$.
5. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=2^x + x^3 – 5$ là?
A. $2^x \ln 2 + \dfrac{x^4}{4} – 5x + C$.
B. $\dfrac{2^x}{\ln 2} + \dfrac{x^4}{4} – 5x + C$.
C. $2^x + \dfrac{x^4}{4} – 5x + C$.
D. $\dfrac{2^x}{\ln 2} + 3x^2 – 5 + C$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Áp dụng công thức $\int a^x dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$: $\int (2^x + x^3 – 5)dx = \dfrac{2^x}{\ln 2} + \dfrac{x^4}{4} – 5x + C$.