Từ một tấm bìa hình vuông \(ABCD\) cạnh \(4cm\)vẽ hai đường chéo và hai nửa đường tròn đường kính là hai cạnh \(AD,BC\)cắt nhau tạo thành \(4\) hình cánh quạt như hình vẽ. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay \(4\)cánh quạt này quanh cạnh \(CD\) (kết quả làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).

Từ một tấm bìa hình vuông \(ABCD\) cạnh \(4cm\)vẽ hai đường chéo và hai nửa đường tròn đường kính là hai cạnh \(AD,BC\)cắt nhau tạo thành \(4\) hình cánh quạt như hình vẽ. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay \(4\)cánh quạt này quanh cạnh \(CD\) (kết quả làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).

A. \(V = 7,18\,c{m^2}\).

B. \(V = 57,38\,c{m^2}\).

C. \(V = 28,69\,c{m^2}\).

D. \(V = 14,36\,c{m^2}\)

Lời giải:

Đặt hệ trục toạ độ \(Oxy\) với gốc \(O\) là đỉnh \(D\), hai tia \(Ox,Oy\) tương ứng là là các tia \(DC,DA\).

Phương trình đường tròn đường kính \(AD\) là \({x^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 4\).

Phương trình đường tròn đường kính \(BC\) là \({\left( {x – 4} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 4\).

Phương trình \(AC:x + y – 4 = 0\), \(BD:x – y = 0\).

Thể tích cánh quạt đỉnh \(D\) quay quanh \(DC\)là \({V_1} = \pi \int\limits_0^2 {{x^2}dx} – \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2 – \sqrt {4 – {x^2}} } \right)}^2}dx} \).

Thể tích cánh quạt đỉnh \(A\) quay quanh \(DC\)là \({V_2} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2 + \sqrt {4 – {x^2}} } \right)}^2}dx} – \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {4 – x} \right)}^2}dx} \).

Thể tích cần tìm là \(V = 2\left( {{V_1} + {V_2}} \right) = 28,69\,\,c{m^2}\).

=========== Tương tự Câu 48 ỨNG DỤNG Tích Phân – THỂ TÍCH – Vận dụng CAO – Toán TK 2024