Cho hai số thực \(x,\) \(y\) thỏa mãn \(0 \le x,y \le 1\) trong đó \(x,\) \(y\) không đồng thời bằng 0 hoặc 1 và \({\log _3}\left( {\frac{{x + y}}{{1 – xy}}} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) – 2 = 0.\) Khi biểu thức \(P = 2x + y\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(3x – 4y\) bằng
A. 2.
B. 3.
C. \(\frac{1}{2}\).
D. 0.
Lời giải:
Từ điều kiện để bài và \(\frac{{x + y}}{{1 – xy}} > 0;\) \(1 – xy \ne 0\) \( \Rightarrow x + y > 0;\) \(1 – xy > 0.\)
Khi đó \({\log _3}\left( {\frac{{x + y}}{{1 – xy}}} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) – 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + y} \right) + \left( {x + y} \right) = {\log _3}\left( {1 – xy} \right) + \left( {1 – xy} \right)\) (1).
Xét hàm số \(g\left( t \right) = {\log _3}t + t,\) \(\left( {t > 0} \right)\) có \(g’\left( t \right) = \frac{1}{{t.\ln 3}} + 1 > 0,\) \(\forall t > 0.\)
Suy ra \(g\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0\,;\, + \infty } \right).\)
Vậy phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + y = 1 – xy \Rightarrow y = \frac{{1 – x}}{{1 + x}} \Rightarrow P = 2x + \frac{{1 – x}}{{1 + x}}.\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2x + \frac{{1 – x}}{{1 + x}}\) với \(x \in \left[ {0\,;\,1} \right].\)
Ta có \(f’\left( x \right) = 2 + \frac{{ – 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\)
\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 2\end{array} \right..\)
\(f\left( 0 \right) = 1;\) \(f\left( 1 \right) = 2\) \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,1} \right]} f\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 0.\)
Khi đó: \(3x – 4y = 3.1 + 4.0 = 3.\).
===========
Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024
Để lại phản hồi