Cho hai số dương \(x,\,y\) thoả mãn \({\log _2}{\left( {4x + y + 2xy + 2} \right)^{y + 2}} = 8 – \left( {2x – 2} \right)\left( {y + 2} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = 2x + y\) là số có dạng \(M = a\sqrt b + c\) với \(a,\,b \in \mathbb{N},\,a > 2\). Tính \(S = a + b + c\)

Cho hai số dương \(x,\,y\) thoả mãn \({\log _2}{\left( {4x + y + 2xy + 2} \right)^{y + 2}} = 8 – \left( {2x – 2} \right)\left( {y + 2} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = 2x + y\) là số có dạng \(M = a\sqrt b + c\) với \(a,\,b \in \mathbb{N},\,a > 2\). Tính \(S = a + b + c\)

A. \(S = 17\).

B. \(S = 7\).

C. \(S = 19\).

D. \(S = 3\).

Lời giải:

Ta có \({\log _2}{\left( {4x + y + 2xy + 2} \right)^{y + 2}} = 8 – \left( {2x – 2} \right)\left( {y + 2} \right) \Leftrightarrow \left( {y + 2} \right)\left[ {{{\log }_2}\left( {y + 2} \right)\left( {2x + 1} \right) + 2x – 2} \right] = 8\) \( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {y + 2} \right) + {\log _2}\left( {2x + 1} \right) + \left( {2x + 1} \right) – 3 = \frac{8}{{y + 2}} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2x + 1} \right) + \left( {2x + 1} \right) = {\log _2}\left( {\frac{8}{{y + 2}}} \right) + \frac{8}{{y + 2}}\)

\( \Leftrightarrow f\left( {2x + 1} \right) = f\left( {\frac{8}{{y + 2}}} \right)\,\,\,(*)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t,\forall t > 0\) có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t.\ln 2}} + 1 > 0,\forall t > 0\)

\( \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\). Do đó \((*) \Leftrightarrow 2x + 1 = \frac{8}{{y + 2}} \Rightarrow 2x = \frac{8}{{y + 2}} – 1\).

Khi đó \(P = 2x + y = \frac{8}{{y + 2}} + y – 1 = \frac{8}{{y + 2}} + y + 2 – 3\mathop \ge \limits^{Cauchy} 2\sqrt 8 – 3 = 4\sqrt 2 – 3\).

\( \Rightarrow a = 4,\,\,b = 2,\,\,c = – 3\). Vậy \(S = a + b + c = 3\).

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024