Xét các số thực dương \(x,y\) thoả mãn \({\log _3}{\left[ {\left( {x + 5} \right)y} \right]^y} = 243 – xy\). Khi biểu thức \(x + 3y\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(2x + y\) bằng

Xét các số thực dương \(x,y\) thoả mãn \({\log _3}{\left[ {\left( {x + 5} \right)y} \right]^y} = 243 – xy\). Khi biểu thức \(x + 3y\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(2x + y\) bằng

A. \(50\)

B. \(55\)

C. \(59\)

D. \(53\)

Lời giải:

Ta có: \({\log _3}{\left[ {\left( {x + 5} \right)y} \right]^y} = 243 – xy\)

\( \Leftrightarrow y.{\log _3}\left[ {\left( {x + 5} \right)y} \right] = 243 – \left[ {\left( {x + 5} \right) – 5} \right].y\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {x + 5} \right)y} \right] = \frac{{243}}{y} – (x + 5) + 5\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 5} \right) + {\log _3}y = \frac{{243}}{y} – \left( {x + 5} \right) + 5\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 5} \right) + \left( {x + 5} \right) = \frac{{243}}{y} – {\log _3}y + {\log _3}243\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 5} \right) + \left( {x + 5} \right) = {\log _3}\left( {\frac{{243}}{y}} \right) + \frac{{243}}{y}\,\,\,\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\)

Ta có: \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Suy ra \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó \(\left( * \right)\) \( \Leftrightarrow x + 5 = \frac{{243}}{y}\) \( \Leftrightarrow x = \frac{{243}}{y} – 5\)

Nên \(P = x + 3y = \frac{{243}}{y} – 5 + 3y = \frac{{243}}{y} + 3y – 5 \ge 2\sqrt {\frac{{243}}{y} \cdot 3y} – 5 = 49,\forall y > 0\).

\(\min P = 49\) khi \(\frac{{243}}{y} = 3y \Leftrightarrow y = 9 \Rightarrow x = 22\)

Vậy \(2x + y = 2.22 + 9 = 53\).

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024