Xét các số thực dương \(x,y\) thoả mãn \({\log _2}\left( {x + 2y} \right) + {x^2} – 2{y^2} + xy – x + y = 0\) và \(x > y\). Khi biểu thức \(xy + 2\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(2x + 4y\) bằng

Xét các số thực dương \(x,y\) thoả mãn \({\log _2}\left( {x + 2y} \right) + {x^2} – 2{y^2} + xy – x + y = 0\) và \(x > y\). Khi biểu thức \(xy + 2\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(2x + 4y\) bằng

A. \(2\)

B. \(6\)

C. \(3\)

D. \(5\)

Lời giải:

Chọn A

Ta có: \({\log _2}\left( {x + 2y} \right) + {x^2} – 2{y^2} + xy – x + y = 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{(x + 2y)(x – y)}}{{(x – y)}} + {x^2} – 2{y^2} + xy – (x – y) = 0\) mà \((x – y > 0)\)

\({\log _2}\left( {{x^2} – 2{y^2} + xy} \right) + {x^2} – 2{y^2} + xy = {\log _2}\left( {x – y} \right) + (x – y)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\)

Ta có: \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Suy ra \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó \(\left( * \right)\) \( \Leftrightarrow {x^2} + xy – 2{y^2} = x – y\) \( \Leftrightarrow (x – y)(x + 2y – 1) = 0\) mà \(x > y \Leftrightarrow x – y > 0\)

\(x + 2y = 1 \Leftrightarrow x = 1 – 2y\)

Nên \(P = (1 – 2y)y + 2 = – 2{y^2} + y + 2\).

\(MaxP = \frac{{17}}{8}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

Vậy \(2x + 4y = 2.\frac{1}{2} + 4.\frac{1}{4} = 2\).

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024