Cho hàm số \(f(x)\) liên tục với mọi \(x \ne 0\) thỏa mãn:\(f(x) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = 3x\) với \(x \ne 0\). Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh \(Ox\) bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\), trục \(Ox\), và hai đường thẳng \(x = 1;\,x = 2\).

  Cho hàm số \(f(x)\) liên tục với mọi \(x \ne 0\) thỏa mãn:\(f(x) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = 3x\) với \(x \ne 0\). Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh \(Ox\) bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\), trục \(Ox\), và hai đường thẳng \(x = 1;\,x = 2\).

A. \(\frac{{{\pi ^2}}}{{12}}\).

B. \(\frac{\pi }{3}\).

C. \(\frac{\pi }{2}\).

D. \(\frac{{{\pi ^2}}}{2}\).

Lời giải

Ta có: \(f(x) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = 3x\) (1)

Thay \(x\) bởi \(\frac{1}{x}\) ta có: \(f\left( {\frac{1}{x}} \right) + 2f\left( x \right) = \frac{3}{x}\) (2)

Từ (1) (2) suy ra: \(f(x) = \frac{2}{x} – x\)

Thể tích vật thể tròn xoay là: \(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {\frac{2}{x} – x} \right)}^2}} dx = \pi \int\limits_1^2 {\left( {\frac{4}{{{x^2}}} – 4 + {x^2}} \right)} dx = \pi \left( {\frac{{ – 4}}{x} – 4x + \frac{1}{3}{x^3}} \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_1\end{array} \right. = \frac{\pi }{3}\)

===========

Đây là các câu File: Tương tự Câu 41 ỨNG DỤNG Tích Phân – DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – Vận dụng – Toán TK 2024