Cho hai đường tròn \(\left( {{O_1};10} \right)\) và \(\left( {{O_2};6} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A\), \(B\)sao cho \(AB\) là một đường kính của đường tròn \(\left( {{O_2};6} \right)\). Gọi \(\left( D \right)\) là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ). Quay \(\left( D \right)\) quanh trục \({O_1}{O_2}\) ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay được tạo thành.

  Cho hai đường tròn \(\left( {{O_1};10} \right)\) và \(\left( {{O_2};6} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A\), \(B\)sao cho \(AB\) là một đường kính của đường tròn \(\left( {{O_2};6} \right)\). Gọi \(\left( D \right)\) là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ). Quay \(\left( D \right)\) quanh trục \({O_1}{O_2}\) ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay được tạo thành.

A. \(V = 36\pi \) B. \(V = \frac{{68\pi }}{3}\) C. \(V = \frac{{320}}{3}\) D. \(V = \frac{{320\pi }}{3}\) Lời giải Chọn hệ tọa độ \(Oxy\) với \({O_2} \equiv O\), \({O_2}C \equiv Ox\), \({O_2}A \equiv Oy\). Cạnh \({O_1}{O_2} = \sqrt {{O_1}{A^2} – {O_2}{A^2}}  = \sqrt {{{10}^2} – {6^2}}  = 8\)\( \Rightarrow \left( {{O_1}} \right):{\left( {x + 8} \right)^2} + {y^2} = 100\). Phương trình đường tròn \(\left( {{O_2}} \right)\): \({x^2} + {y^2} = 36\). Kí hiệu \(\left( {{H_1}} \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {100 – {{\left( {x + 8} \right)}^2}} \), trục \(Ox\), \(x = 0\), \(x = 2\). Kí hiệu \(\left( {{H_2}} \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {36 – {x^2}} \), trục \(Ox\), \(x = 0\), \(x = 6\). Khi đó thể tích \(V\) cần tính chính bằng thể tích \({V_2}\) của khối tròn xoay thu được khi quay hình \(\left( {{H_2}} \right)\) xung quanh trục \(Ox\) trừ đi thể tích \({V_1}\) của khối tròn xoay thu được khi quay hình \(\left( {{H_1}} \right)\) xung quanh trục \(Ox.\) Ta có \({V_2} = \frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi {r^3}\)\( = \frac{2}{3}\pi {.6^3}\)\( = 144\pi \). Lại có \({V_1} = \pi \int\limits_0^2 {{y^2}{\rm{d}}x} \)\( = \pi \int\limits_0^2 {\left[ {100 – {{\left( {x + 8} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x} \)\( = \frac{{112\pi }}{3}\). Do đó \(V = {V_2} – {V_1}\)\( = 144\pi  – \frac{{112\pi }}{3}\)\( = \frac{{320\pi }}{3}\). =========== Đây là các câu File: Tương tự Câu 41 ỨNG DỤNG Tích Phân – DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – Vận dụng – Toán TK 2024