Hướng tới kỉ niệm \(50\) năm thành lập trường THPT X. Học sinh lớp 12T thiết kế bồn hoa gồm hai Elip bằng nhau có độ dài trục lớn bằng \(8m\) và độ dài trục nhỏ bằng \(4m\) đặt chồng lên nhau sao cho trục lớn của Elip này và trục nhỏ của Elip kia cùng nằm trên một đường thẳng (như hình vẽ).

Phần diện tích (tô màu) nằm trong đường tròn đi qua \(4\) giao điểm của hai Elip dùng để trồng cỏ, phần diện tích bốn cánh hoa (không tô màu) được giới hạn bởi đường tròn và đường Elip dùng để trồng hoa. Biết kinh phí để trồng hoa là \(300.000\)đồng\(/1{m^2}\), kinh phí để trồng cỏ là \(200.000\)đồng\(/1{m^2}\). Tổng số tiền dùng để trồng hoa và trồng cỏ cho bồn hoa gần với số nào nhất trong các số sau:

Hướng tới kỉ niệm \(50\) năm thành lập trường THPT X. Học sinh lớp 12T thiết kế bồn hoa gồm hai Elip bằng nhau có độ dài trục lớn bằng \(8m\) và độ dài trục nhỏ bằng \(4m\) đặt chồng lên nhau sao cho trục lớn của Elip này và trục nhỏ của Elip kia cùng nằm trên một đường thẳng (như hình vẽ).

Phần diện tích (tô màu) nằm trong đường tròn đi qua \(4\) giao điểm của hai Elip dùng để trồng cỏ, phần diện tích bốn cánh hoa (không tô màu) được giới hạn bởi đường tròn và đường Elip dùng để trồng hoa. Biết kinh phí để trồng hoa là \(300.000\)đồng\(/1{m^2}\), kinh phí để trồng cỏ là \(200.000\)đồng\(/1{m^2}\). Tổng số tiền dùng để trồng hoa và trồng cỏ cho bồn hoa gần với số nào nhất trong các số sau: A. \(6.800.000\)đồng. B. \(8.900.000\)đồng. C. 8.600.000 đồng. D. \(6.900.000\)đồng. Lời giải

⬥ Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ. ⬥ Tiếp theo ta sẽ thiết lập phương trình nửa bên trên trục hoành của cả hai Elip trên \( \Rightarrow \)2 phương trình đó là: \({y_1} = 4\sqrt {1 – \frac{{{x^2}}}{4}} ;{y_2} = 2\sqrt {1 – \frac{{{x^2}}}{{16}}} \). Gọi \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right),({x_0} > 0)\) là một trong hai giao điểm của hai đồ thị hàm số \({y_1},{y_2}\). Từ đó, hoành độ của điểm\(A\)chính là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số \({y_1},{y_2}\)     \( \Rightarrow 4\sqrt {1 – \frac{{{x^2}}}{4}}  = 2\sqrt {1 – \frac{{{x^2}}}{{16}}}  \Leftrightarrow 2\sqrt {4 – {x^2}}  = \frac{{\sqrt {16 – {x^2}} }}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16(4 – {x^2}) = 16 – {x^2}\\0 < x \le 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} =  \pm \frac{4}{{\sqrt 5 }}\\0 < x \le 2\end{array} \right. \Rightarrow {x_0} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\). Suy ra bán kính của đường tròn đi qua 4 giao điểm của 2 Elip trên là \(R = \frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}(m)\). Phương trình nửa trên của đường tròn là: \({y_3} = \sqrt {\frac{{32}}{5} – {x^2}} \). Diện tích hình tròn đó là: \(\pi {R^2} = \pi {\left( {\frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} = \frac{{32\pi }}{5}({m^2})\). Từ đó ta tính được kinh phí trồng cỏ là: \(200.000 \times \left( {\frac{{32\pi }}{5}} \right)\)đồng. Ta có diện tích 4 cánh hoa được giới hạn bởi đường tròn và đường Elip dùng để trồng hoa bằng nhau. Diện tích cánh hoa nằm phía trên trục hoành giới hạn bởi Elip \(\left( {{E_1}} \right)\) và đường tròn là: \(S{_1} = \int\limits_{ – {x_0}}^{{x_0}} {\left( {4\sqrt {1 – \frac{{{x^2}}}{4}}  – \sqrt {\frac{{32}}{5} – {x^2}} } \right)} {\rm{d}}x\). Diện tích dùng để trồng hoa là \(S = 4{S_1}\) Vậy tổng giá tiền dùng để trồng hoa và trồng cỏ cho bồn hoa bằng \(300000 \times S + 200.000 \times \left( {\frac{{32\pi }}{5}} \right) \approx 8.600.000\)(đồng). =========== Đây là các câu File: Tương tự Câu 41 ỨNG DỤNG Tích Phân – DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – Vận dụng – Toán TK 2024