Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { – 1;1} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + 2 = \frac{3}{2}\int\limits_{ – 1}^1 {\left( {x + t} \right)f\left( t \right){\rm{d}}t} \) với \(\;\forall x \in \left[ { – 1;1} \right]\). Khi đó \(I = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
A. \(I = 3\).
B. \(I = 4\).
C. \(I = 2\).
D. \(I = 1\).
Lời giải
Biến đổi \(f\left( x \right) + 2 = \frac{3}{2}\int\limits_{ – 1}^1 {\left( {x + t} \right)f\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{3}{2}\left[ {\int\limits_{ – 1}^1 {xf\left( t \right){\rm{d}}t} + \int\limits_{ – 1}^1 {tf\left( t \right){\rm{d}}t} } \right] = \frac{3}{2}x\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( t \right){\rm{d}}t} + \frac{3}{2}\int\limits_{ – 1}^1 {tf\left( t \right){\rm{d}}t} \)
Do đó \( \Rightarrow f\left( x \right) + 2 = ax + b;\left( {a = \frac{3}{2}\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( t \right){\rm{d}}t} ;b = \frac{3}{2}\int\limits_{ – 1}^1 {tf\left( t \right){\rm{d}}t} } \right).\)
Thay ngược lại đẳng thức đã cho
\(ax + b = \frac{3}{2}x\int\limits_{ – 1}^1 {\left( {at + b – 1} \right){\rm{d}}t} + \frac{3}{2}\int\limits_{ – 1}^1 {t\left( {at + b – 1} \right){\rm{d}}t} = \frac{3}{2}x \times 2\left( {b – 1} \right) + \frac{3}{2} \times \frac{2}{3}a = 3\left( {b – 1} \right)x + a\)
Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\left( {b – 1} \right)\\b = a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \frac{3}{2}\) hay \(f(x) = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\)
\(I = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ – 1}^1 {\left( {\frac{3}{x}x + \frac{1}{2}} \right)} dx = 1\).
===========
Đây là các câu File: Tương tự Câu 41 ỨNG DỤNG Tích Phân – DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – Vận dụng – Toán TK 2024
Để lại phản hồi