Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục không âm trên \(\left[ {0\,;\frac{\pi }{2}} \right]\), thỏa mãn \(f\left( x \right).f’\left( x \right) = \cos x.\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \) với mọi \(x \in \left[ {0\,;\frac{\pi }{2}} \right]\) và \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \). Giá trị của \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục không âm trên \(\left[ {0\,;\frac{\pi }{2}} \right]\), thỏa mãn \(f\left( x \right).f’\left( x \right) = \cos x.\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \) với mọi \(x \in \left[ {0\,;\frac{\pi }{2}} \right]\) và \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \). Giá trị của \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng

A. \(2\).

B. \(2\sqrt 2 \).

C. \(\sqrt {15} \).

D. \(0\).

Lời giải

Với \(x \in \left[ {0\,;\frac{\pi }{2}} \right]\) ta có \(f\left( x \right).f’\left( x \right) = \cos x.\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  \Rightarrow \frac{{2f\left( x \right).f’\left( x \right)}}{{2\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = \cos x\,\,\,\left( * \right)\).

Suy ra \(\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  = \sin x + C\). Ta có \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2  \Rightarrow C = 3\).

Dẫn đến \(f\left( x \right) = \sqrt {{{\left( {\sin x + 3} \right)}^2} – 1} \). Vậy \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sqrt {15} \).

===========

Đây là các câu File: Tương tự Câu 41 ỨNG DỤNG Tích Phân – DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – Vận dụng – Toán TK 2024