Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) nằm phía trên trục hoành. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn các điều kiện \({\left[ {f’\left( x \right)} \right]^2} + f”\left( x \right).f\left( x \right) + 4 = 0,\,\,f\left( 0 \right) = 0,\,\,f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \sqrt 3 .\) Tính \(f\left( 1 \right)\).
A. \(20\).
B. \(100\).
C. \(2\).
D. \(4\).
Lời giải
Ta có \({\left[ {f’\left( x \right)} \right]^2} + f”\left( x \right).f\left( x \right) + 4 = 0\, \Leftrightarrow {\left[ {f’\left( x \right).f\left( x \right)} \right]^\prime } = – 4\,\,\,\left( 1 \right)\)
Lấy nguyên hàm 2 vế của \(\left( 1 \right)\) ta có: \(\int {{{\left[ {f’\left( x \right).f\left( x \right)} \right]}^\prime }{\rm{d}}x = \int { – 4{\rm{d}}x\,\, \Rightarrow f’\left( x \right).f\left( x \right) = – 4x + {C_1}\,\,\left( 2 \right)} } \)
Lấy nguyên hàm 2 vế của \(\left( 2 \right)\) ta có: \(\int {f’\left( x \right).f\left( x \right)} .{\rm{d}}x = \int {\left( { – 4x + {C_1}} \right){\rm{d}}x\,\,} \)
\( \Rightarrow \int {f\left( x \right).{\rm{d}}\left( {f\left( x \right)} \right) = – 2{x^2} + {C_1}x + {C_2} \Rightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = – 2{x^2} + {C_1}x + {C_2}} \)
Do \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 0\\f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{C_1} = 4\\{C_2} = 0\end{array} \right..\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt { – 4{x^2} + 8x} \) (do \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị nằm phía trên trục hoành).
Khi đó ta có hàm số \(y = f\left( x \right) = \sqrt { – 4{x^2} + 8x} \,\,\left( C \right).\) \(\) Vậy \(f\left( 1 \right) = 2\).
===========
Đây là các câu File: Tương tự Câu 41 ỨNG DỤNG Tích Phân – DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – Vận dụng – Toán TK 2024
Để lại phản hồi