Giải Sách bài tập Toán 11 Bài 17 (KNTT): Hàm số liên tục

Giải Sách bài tập Toán 11 Bài 17 (KNTT): Hàm số liên tục – SÁCH GIÁO KHOA KẾT NỐI TRI THỨC 2024

================

Giải SBT Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục

Bài 5.21 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1:Cho hàm số g(x) liên tục trên ℝ trừ điểm x = 0. Xét tính liên tục của hàm số$f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{x}$tại x = 1.

Lời giải:

Dohàm số g(x) liên tục trên ℝ trừ điểmx = 0nên hàm số g(x) liên tục tại x = 1.

Xét hàm số h(x) = x xác định với mọi x∈ℝ, ta thấy hàm số này liên tục trênℝnên nó cũng liên tục tại x = 1.

Do đó với x ≠ 0, hàm số$f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}=\frac{g\left(x\right)}{x}$liên tục tại x = 1.

Bài 5.22 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1:Cho hàm số$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}3n{ê}^{‘}ux\le 1\\ ax+bn{ê}^{‘}u1<x<2\\ 5n{ê}^{‘}ux\ge 2\end{array}\right.$. Xác định a, b để hàm số liên tục trên ℝ.

Lời giải:

+ Với x < 1 thì f(x) = 3 luôn liên tục trên (–∞; 1).

+ Với 1 < x < 2 thì f(x) = ax + b luôn liên tục trên (1; 2).

+ Với x > 2 thì f(x) = 5 luôn liên tục trên (2; +∞).

Do đó, ta cần xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 và x = 2.

Ta có:$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(ax+b\right)=a+b$;$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }3=3$; f(1) = 3;

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }5=5$;$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(ax+b\right)=2a+b$;f(2) = 5.

Để hàm số f(x) liên tục trênℝthì hàm số f(x) phải liên tục tại x = 1 và x = 2, tức là

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)\\ \underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}a+b=3\\ 2a+b=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right.$

Vậy a = 2, b = 1 thì hàm số f(x) liên tục trênℝ.

Bài 5.23 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1:Tìm tham số m để hàm số$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{x-1}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}neu\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x<1\\ mx+1\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}neu\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x\ge 1\end{array}\right.$liên tục trên ℝ.

Lời giải:

Hàm số đã cho luôn liên tục trên các khoảng(–∞; 1) và (1; +∞).

Ta cần xét tính liên tục của hàm số đã cho tại x = 1.

Ta có:$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(mx+1\right)=m+1$

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+1\right)=2$

f(1) = m . 1 + 1 = m + 1.

Để hàm số f(x) liên tục trênℝthì$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)$, tức là m + 1 = 2.

Suy ra m = 1.

Bài 5.24 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1:Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a)$f\left(x\right)=\frac{x^3+x+1}{x^2-3x+2}$

b)$g\left(x\right)=\frac{\cos x}{x^2+3x-4}$

Lời giải:

Áp dụng tính chất: Các hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

a)$f\left(x\right)=\frac{x^3+x+1}{x^2-3x+2}$

ĐKXĐ: x²– 3x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 hoặc x ≠ 2.

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là D =(–∞; 1)∪(1; 2)∪(2; +∞).

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng(–∞; 1), (1; 2), (2; +∞).

b)$g\left(x\right)=\frac{\cos x}{x^2+3x-4}$

ĐKXĐ: x²+ 3x – 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ – 4 hoặc x ≠ 1.

Do đó, tập xác định của hàm số g(x) là D =(–∞; – 4)∪(– 4; 1)∪(1; +∞).

Vậy hàm số g(x) liên tục trên các khoảng(–∞; – 4), (– 4; 1), (1; +∞).

Bài 5.25 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1:Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nghiệm trong khoảng tương ứng:

a)$x^2=\sqrt{x+1}$, trong khoảng(1; 2).

b) cos x =x, trong khoảng (0; 1).

Lời giải:

a) Xét hàm số$f\left(x\right)=x^2-\sqrt{x+1}$xác định trên [– 1; +∞).

Do đó hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 2].

Mà f(1) =$1-\sqrt{1+1}=1-\sqrt{2}$< 0 và f(2) =$2^2-\sqrt{2+1}=4-\sqrt{3}>0$

Suy ra f(1) . f(2) < 0.

Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm c ∈ (1; 2) sao cho f(c) = 0.

Tức là f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2).

Vậy phương trình$x^2=\sqrt{x+1}$có nghiệm trong khoảng (1; 2).

b) Xét hàm số g(x) = cos x – x xác định trên ℝ.

Do đó hàm số g(x) liên tục trên đoạn[0; 1].

Mà g(0) = cos 0 – 0 = 1 > 0 và g(1) = cos 1 – 1 < 0.

Suy ra g(0) . g(1) < 0.

Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm c ∈ (0; 1) sao cho g(c) = 0.

Tức là g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

Vậy phương trình cos x = x có nghiệm trong khoảng (0; 1).

=============
THUỘC: Giải SÁCH bài tập Toán 11 – KNTT