Có bao nhiêu số nguyên dương \(x,x \le 2023\) sao cho tồn tại số nguyên \(y\)thỏa mãn \(x\left( {{2^y} + y – 1} \right) = 2 – {\log _2}{x^x}\)

Có bao nhiêu số nguyên dương \(x,x \le 2023\) sao cho tồn tại số nguyên \(y\)thỏa mãn \(x\left( {{2^y} + y – 1} \right) = 2 – {\log _2}{x^x}\)

A. 12.

B. 9.

C. 10.

D. 11.

Lời giải:

Ta có: \(x\left( {{2^y} + y – 1} \right) = 2 – {\log _2}{x^x} \Leftrightarrow x{\log _2}x + x\left( {{2^y} + y – 1} \right) = 2.\)

Đặt \(t = {\log _2}x \Leftrightarrow x = {2^t}\).

Khi đó \({2^t}.t + {2^t}\left( {{2^y} + y – 1} \right) = 2 \Leftrightarrow t + {2^y} + y – 1 = {2^{1 – t}} \Leftrightarrow {2^y} + y = {2^{1 – t}} + 1 – t\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét hàm số: \(f\left( u \right) = {2^u} + u\) có \(f’\left( u \right) = {2^u}\ln 2 + 1 > 0,\,\forall u \in \mathbb{R}\) nên hàm \(f\left( u \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\),

Do đó từ \(\,\left( 1 \right)\) suy ra \(y = 1 – t \Leftrightarrow y = 1 – {\log _2}x \Leftrightarrow {\log _2}x = 1 – y \Leftrightarrow x = {2^{1 – y}}\).

Vì \(1 \le x \le 2023 \Leftrightarrow 1 \le {2^{1 – y}} \le 2023 \Leftrightarrow 0 \le 1 – y \le {\log _2}2023 \Leftrightarrow 1 – {\log _2}2023 \le y \le 1\).

Khi đó \(y \in \left\{ { – 9; – 8; – 7;…;1} \right\}\). Với \(x = {2^{1 – y}}\). Vậy có 11 số nguyên \(x\) thỏa mãn.

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit.