Cho lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B\). Biết \(AB = a\), \(AA’ = 2a\sqrt 6 \) và \(M\) là trung điểm của \(AA’\). Góc giữa đường thẳng \(MC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

A. \({30^0}\).

B. \({60^0}\).

C. \({90^0}\).

D. \({45^0}\).

Lời giải:

Ta có \(AA’ \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AM \bot \left( {ABC} \right)\) do đó góc giữa đường thẳng \(MC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {MCA}\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).

Mặt khác \(AM = \frac{1}{2}AA’ = a\sqrt 6 \).

Tam giác \(MCA\) vuông tại \(A\) nên \(\tan \widehat {MCA} = \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 \) \( \Rightarrow \widehat {MCA} = {60^0}\)

Vậy góc giữa đường thẳng \(MC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\).