Cho các số thực dương \(a\), \(b\) thỏa mãn \(\ln \frac{{2 – 2ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b – 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của \(P = a + 2b\).

Cho các số thực dương \(a\), \(b\) thỏa mãn \(\ln \frac{{2 – 2ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b – 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của \(P = a + 2b\).

A. \({P_{\min }} = \frac{{2\sqrt {10} – 3}}{2}\). B. \({P_{\min }} = \frac{{3\sqrt {10} – 7}}{2}\). C. \({P_{\min }} = \frac{{2\sqrt {10} – 1}}{2}\). D. \({P_{\min }} = \frac{{2\sqrt {10} – 5}}{2}\).
Lời giải
Điều kiện: \(ab < 1\). Ta có \(\ln \frac{{2 - 2ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b - 3\)\( \Leftrightarrow \ln \left[ {2 - 2ab} \right] + \left( {2 - 2ab} \right) = \ln \left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right)\,\left( * \right)\). Xét hàm số \(y = f\left( t \right) = \ln t + t\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{t} + 1 > 0,\forall t > 0\). Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Do đó, \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left[ {2\left( {1 – ab} \right)} \right] = f\left( {a + b} \right)\)\( \Leftrightarrow 2\left( {1 – ab} \right) = a + b\)\( \Leftrightarrow a\left( {2b + 1} \right) = 2 – b\)\( \Leftrightarrow a = \frac{{ – b + 2}}{{2b + 1}}\).
Ta có \(P = a + 2b = \frac{{ – b + 2}}{{2b + 1}} + 2b = g\left( b \right)\).
\(g’\left( b \right) = \frac{{ – 5}}{{{{\left( {2b + 1} \right)}^2}}} + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {2b + 1} \right)^2} = \frac{5}{2}\)\( \Leftrightarrow 2b + 1 = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\)\( \Leftrightarrow b = \frac{{\sqrt {10} – 2}}{4}\) .
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra \({P_{\min }} = g\left( {\frac{{\sqrt {10} – 2}}{4}} \right) = \frac{{2\sqrt {10} – 3}}{2}\).

===========
Đây là các câu VD-VDC trong đề ÔN TẬP HÀM SỐ MŨ – LOGARIT.