Giải bài 4.61 trang 70 SBT Toán 10 – KN

Giải bài 4.61 trang 70 SBT Toán 10 – KN – KẾT NỐI TRI THỨC
CỦA BÀI HỌC: Bài tập cuối chương IV – SBT Toán 10 KNTT

=======

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4,\,\,AC = 5\) và \(\widehat {CAB} = {60^ \circ }.\)

a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} .\)

b) Lấy các điểm \(M,\,\,N\) thỏa mãn \(2\overrightarrow {AM}  + 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NB}  + x\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \,\,\left( {x \ne  – 1} \right).\) Xác định \(x\) sao cho \(AN\) vuông góc với \(BM.\)

Lời giải chi tiết

a)      Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \widehat {CAB} = 4.5.\cos {60^ \circ } = 10\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  – {\overrightarrow {AB} ^2} = 10 – {4^2} =  – 6\)

b)     Ta có: \(2\overrightarrow {AM}  + 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \) \(2\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {BC}  – \overrightarrow {BM} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {BM}  =  – 2\overrightarrow {AB}  – 3\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {AB}  + 3\left( {\overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {AB} } \right) =  – \overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AC} \)     (1)

Ta có: \(\overrightarrow {NB}  + x\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \) \(\left( {\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {AN} } \right) + x\left( {\overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {AN} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \) \(\left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AB}  + x\overrightarrow {AC} \)            (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(\left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + x\overrightarrow {AC} } \right)\left( { – \overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AC} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \) \(\left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM}  =  – {\overrightarrow {AB} ^2} + 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  – x\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  + 3x{\overrightarrow {AC} ^2}\)