Lý thuyết Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ – Chân trời
============
1.1. Tổng của hai vectơ
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\). Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \). Khi đó \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\overrightarrow a\), \(\overrightarrow b\) được kí hiệu là \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \). Vậy \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) |
---|
Quy tắc ba điểm:
Với 3 điểm M, N, P ta có: \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} \)
Quy tắc hình bình hành:
Nếu OABC là hình bình hành thì ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} \)
Chú ý:
+ Khi công hai vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuỗi của vectơ thứ nhât phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.
Ví dụ: Cho các điểm E, F, G, H, K. Thực hiện các phép cộng vecto
\(\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FH} ;\overrightarrow {FK} + \overrightarrow {KG} ;\overrightarrow {HF} + \overrightarrow {HE} \)
Giải
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FH} = \overrightarrow {EH} ;\\
\overrightarrow {FK} + \overrightarrow {KG} = \overrightarrow {FG} ;\\
\overrightarrow {HF} + \overrightarrow {HE} = \overrightarrow {EE} = \overrightarrow 0.
\end{array}\)
1.2. Tính chất của phép cộng các vectơ
Phép cộng vecto có các tính chất sau: + Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a \) + Tính chất kết hợp: \((\overrightarrow a + \overrightarrow b ) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + (\overrightarrow b + \overrightarrow c )\) + Với mọi vecto \(\overrightarrow a ,\) ta luôn có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 + \overrightarrow a = \overrightarrow a \) |
---|
Chú ý: \(\overrightarrow a + ( – \overrightarrow a ) = \overrightarrow 0 \) (Tổng hai vecto đối luôn bằng vecto-không)
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Thực hiện các phép cộng vecto sau: \(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} } \right) + \overrightarrow {BC} \)
Giải
Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng vecto, ta có:
\(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} } \right) + \overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CC} = \overrightarrow 0 \)
1.3. Hiệu của hai vectơ
Hiệu của hai vecto \(\overrightarrow a – \overrightarrow b = \overrightarrow a + \left( { – \overrightarrow b } \right)\) |
---|
Chú ý: Cho ba điểm O, A, B ta có: \(\overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AB} \)
Ví dụ: Cho các điểm M, N, P, Q. Thực hiện các phép trừ vecto sau: \(\overrightarrow {MN} – \overrightarrow {PN} ;\overrightarrow {PM} – \overrightarrow {PQ} \)
Giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MN} – \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} ;\\
\overrightarrow {PM} – \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PM} + \overrightarrow {QP} = \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {PM} = \overrightarrow {QM} .
\end{array}\)
1.4. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
+) M là trung điểm AB \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \) +) G là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) |
---|
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD cóI, J lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của IJ. Chứng minh \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)
Giải
Do I, J, O lần lượt là trung điểm của AB, CD và Ị nên:
\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} = \overrightarrow 0 \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OJ} + \overrightarrow {JC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OJ} + \overrightarrow {JD} } \right)\\
= \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} } \right)\\
= \overrightarrow 0
\end{array}\)
Câu 1: Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. Cho biết \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} ;\overrightarrow b = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BC} \). Chứng minh rằng hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.
Hướng dẫn giải
Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:
\(\overrightarrow a = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow b = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DC} \)
Mà ABCD là hình thang nên AB//DC. Mặt khác vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và vectơ \(\overrightarrow {DC} \) đều có hướng từ trái sang phải, suy ra vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và vectơ \(\overrightarrow {DC} \)cùng hướng
Vậy hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.
Câu 2: Cho tam giác đều ABC cạnh có độ dài là a. Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}\)
Hướng dẫn giải
Áp dụng quy tắc hình bình hành vào ABDC ta có:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD\)
Gọi O là giao điểm của AD và BC, ta có:
\(AO = \sqrt {A{B^2} – B{O^2}} = \sqrt {A{B^2} – {{\left( {\frac{1}{2}BC} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} – {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(AD = 2AO = a\sqrt 3 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3 \)
Vậy độ dài vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) là \(a\sqrt 3 \)
Câu 3: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài các vectơ sau:
a) \(\overrightarrow a = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {CB} ;\)
b) \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} .\)
Hướng dẫn giải
a) \(\begin{array}{l}\overrightarrow a = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {CB} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) + \overrightarrow {BD} \\ = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = 1\end{array}\)
b) \(\begin{array}{l}\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DA} } \right)\\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {AC} \end{array}\)
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt 2 \)
Câu 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Tìm ba điểm M, N, P thỏa mãn:
a) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)
b) \(\overrightarrow {ND} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \)
c) \(\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow 0 \)
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng tính chất trọng tâm ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra M là trọng tâm của tam giác ADB
Vậy M nằm trên đoạn thẳng AO sao cho \(AM = \frac{2}{3}AO\)
b) Tiếp tục áp dụng tính chất trọng tâm \(\overrightarrow {ND} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra N là trọng tâm của tam giác BCD
Vậy N nằm trên đoạn thẳng OD sao cho \(ON = \frac{1}{3}OD\)
c) Áp dụng tính chất trung điểm ta có: \(\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra P là trung điểm của đoạn thẳng MN
Vậy điểm P trùng với điểm O
===========
Chuyên mục: Chương 5: Vectơ
Trả lời