Lý thuyết Bài 1: Khái niệm vectơ – Chân trời

Lý thuyết Bài 1: Khái niệm vectơ – Chân trời
============

1.1. Định nghĩa vectơ

Đại lượng vô hướng là đại lượng chỉ có độ lớn. Ví dụ: khôi lượng, khoảng cách, nhiệt độ, …

Đại lượng có hướng là đại lượng bao gồm cả đô lớn và hướng. Ví du: đô dịch chuyền, lực, vận tốc, gia tộc,

Khi xác định một đại lượng vô hướng, ta chỉ cằn mô tả độ lớn của nó. Ví dụ: Hàng trên tàu có khôi lượng 500 tân.

Khi xác định một đại lượng có hướng, ta phải đề cập đến cả độ lớn và hướng của nó. Ví dụ: Con tàu có độ địch chuyển đài 500 km theo hướng từ A đền B.

Vecto là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.

* Wectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là \(\overrightarrow {AB} \), đọc là vectơ \(\overrightarrow {AB} \) (Hình sau)

* Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ \(\overrightarrow {AB} \).

* Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ đài của vectơ V và được kí hiệu là \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ }}} \right|\) Như vậy ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ }}} \right| = AB\).

Chú ý: Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow x ,\overrightarrow y \)…

Ví dụ:  Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2 (Hình sau). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC. Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá và độ đài của các vectơ: \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BH} \) 

Giải

Vectơ \(\overrightarrow {CA}\) có điểm đầu là C, điểm cuôi là A và có giá là đường thẳng AC.

Veclơ \(\overrightarrow {AH}\) có điểm đầulà A, điểm cuối là H và có giá là đường thẳng AH.

Vectơ \(\overrightarrow {BH}\) có điểm đầu là B, điểm cuôi là H và có giá là đường thẳng BH.

Ta có: CA =2, BH = 1, \(AH = \sqrt {A{C^2} – C{H^2}}  = \sqrt {4 – 1}  = \sqrt 3 \) 

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 2,\left| {\overrightarrow {BH} } \right| = 1,\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = \sqrt 3 .\) 

1.2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

+) Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. +) Hai vecto cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

Ví dụ:

 

Ba vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {AB} \) cùng phương.

Trong đó 2 vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow {CD} \) cùng hướng, còn 2 vecto \(\overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {AB} \) ngược hướng.

+) Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương.

1.3. Vectơ bằng nhau – Vectơ đối nhau

+) Hai vecto được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. +) Hai vecto được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng. Kí hiệu: \(\overrightarrow a  =  – \overrightarrow b \), (vecto \(\overrightarrow b \) là vecto đối của vecto \(\overrightarrow a \))

Chú ý:  Với mỗi điểm O và vecto \(\overrightarrow a \) cho trước, có duy nhất điểm A sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a \)

Ví dụ: 

a) Tìm trong hình sau hai cặp vectơ bằng nhau và hai căp vectơ đối nhau.

b) Cho điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm hai vectơ đối nhau.

Giải

Trình hình trên, ta có: 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {CB} \\
\overrightarrow {AD}  =  – \overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow { – AD} 
\end{array}\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {OA}  =  – \overrightarrow {OB} \) (Hình sau)

1.4. Vectơ không

Vecto không, là vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu chung là \(\overrightarrow 0 \).

Ví dụ: \(\overrightarrow {AA} ,\;\overrightarrow {EE} ,…\)

* Chú ý:

– Vecto không có độ dài bằng 0.

– Vecto \(\overrightarrow 0 \) cùng phương, cùng hướng với mọi vecto.

– Mọi vecto-không đều bằng nhau: \(\overrightarrow 0  = \overrightarrow {AA}  = \;\overrightarrow {BB}  = …\)

– Vecto đối của vecto-không là chính nó.

Câu 1:  Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\), hai đường chéo cắt nhau tại O. Tìm độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AO} \).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(AC = BD = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = 1\)

\(OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\)

Suy ra: \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow {AO} } \right| = 1\)

Câu 2:  Quan sát Hình sau và gọi tên các vectơ:

a) Cùng phương với vectơ \(\overrightarrow x \);

b) Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) ;

Ngược hướng với vectơ  \(\overrightarrow u \).

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Giá của vectơ \(\overrightarrow {\rm{w}} \) trùng với giá của \(\overrightarrow x \)

Giá của vectơ \(\overrightarrow y \), \(\overrightarrow z \)song song với giá của \(\overrightarrow x \)

Suy ra các vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow x \) là \(\overrightarrow {\rm{w}} \), \(\overrightarrow y \)và \(\overrightarrow z \)

b) Ta có:

Vectơ \(\overrightarrow b \) có giá song song với vectơ \(\overrightarrow a \)và có cùng hướng từ trên xuống với vectơ \(\overrightarrow a \)nên vectơ \(\overrightarrow b \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \)

c) Ta có:

Vectơ \(\overrightarrow v \) có giá song song với vectơ \(\overrightarrow u \)và ngược hướng từ dưới lên trên so với vectơ \(\overrightarrow u \)nên vectơ \(\overrightarrow v \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow u \)

Câu 3:  Cho D, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC (hình 14).

a) Tìm các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {EF} \).

b) Tìm các vectơ đối vectơ \(\overrightarrow {EC} \)

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có:

\(AF = FB = ED\); \(AE = EC = FD\); \(BD = DC = EF\)

Từ đó dựa vào hình ta có:

a) Các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {EF} \)là \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {DC} \)

b) Các vectơ đối vectơ \(\overrightarrow {EC} \) là \(\overrightarrow {EA} \) và \(\overrightarrow {DF} \)

===========
Chuyên mục: Chương 5: Vectơ