Đề toán 2022 [2H2-2.6-3]  Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng \(120^\circ \) và chiều cao bằng \(1\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của \(\left( S \right)\) bằng.

Đề toán 2022 [2H2-2.6-3]  Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng \(120^\circ \) và chiều cao bằng \(1\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của \(\left( S \right)\) bằng.

A. \(16\pi \). B. \(12\pi \). C. \(4\pi \). D. \(48\pi \).

Lời giải

Giả sử hình nón có đỉnh \(N\) và đường kính đáy là \(AB\), \(H\) là trung điểm của \(AB\), \(I\) là tâm mặt cầu cần tìm.

Theo giả thiết ta có tam giác \(NAB\) cân tại \(N\) và có đường cao \(NH = 1\), \(\widehat {ANB} = 120^\circ  \Rightarrow AB = 2\sqrt 3 \) nên suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(NAB\) là \(R = \frac{{AB}}{{2\sin \widehat {ANB}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{2\sin 120^\circ }} = 2\).

Theo giả thiết ta có bán kính của mặt cầu cần tìm bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác  \(ABC\) nên mặt cầu cần tìm có bán kính \(R = 2\).

Vậy diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {.2^2} = 16\pi \).

=========== Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.