Lờigiải
Chọn B
Chọn hệ trục tọa độ\({\rm{Ox}}y\)như hình vẽ với\(A\left( { – 5;0} \right);\,B\left( {5;0} \right)\)
Vì\((P)\)đối xứng nhau qua \(Oy\)nên\((P)\)có dạng\(y = a{x^2} + c\).
Vì\((P)\)đi qua \(B\left( {5;0} \right);I\left( {0;12,5} \right)\)nên ta cóhệphươngtrình\(\left\{ \begin{array}{l}25a + c = 0\\c = 12,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{1}{2}\\c = \frac{{25}}{2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow y = – \frac{1}{2}{x^2} + \frac{{25}}{2}\)
Giả sử cánh cổng là hình chữ nhật \(CDFE\) như hình vẽ.
Gọi \(F\left( {x;0} \right)\,;\,\,\left( {0 < x < 5} \right)\), khi đó \(D\left( {x; – \frac{1}{2}{x^2} + \frac{{25}}{2}} \right)\).
Diện tích hình chữ nhật \(CDFE\) là \({S_{CDFE}} = EF \cdot CE = 2x \cdot \left( { – \frac{1}{2}{x^2} + \frac{{25}}{2}} \right) = – {x^3} + 25x\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi\((P)\)và trục \(Ox\)là\(S = 2\int\limits_0^5 {\left( { – \frac{1}{2}{x^2} + \frac{{25}}{2}} \right)dx} = \frac{{250}}{3}{m^2}\)
Diện tích phần trang trí hoa là\({S_1} = S – {S_{CDFE}} = \frac{{250}}{3} + {x^3} – 25x\)
Để chi phí trang trí hoa là thấp nhất thì \({S_1}\) phải có diện tích nhỏ nhất.
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 25x + \frac{{250}}{3};\,\,\left( {0 < x < 5} \right)\)
Ta có \(f’\left( x \right) = 3{x^2} – 25\); \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\\x = – \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;5} \right)} f\left( x \right) = \frac{{250}}{3} – \frac{{250}}{{3\sqrt 3 }}\), đạt được khi \(x = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\)
Vậy diện tích trang trí hoa nhỏ nhất là \({S_1} = \frac{{250}}{3} – \frac{{250}}{{3\sqrt 3 }} \approx 35,2\left( {{m^2}} \right)\).
Khi đó chi phí để mua hoa trang trí là: \(35,2 \times 300.000 = 10.560.000\)đồng
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Ứng dụng Tích phân
Để lại phản hồi