(THPT Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1;2;3),B\left( {0;1;0} \right),C(1;0; – 2)\) và mặt phẳng \((P):x + y + z + 2 = 0\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) nằm trên \((P)\) sao cho biểu thức \(M{A^2} + 2M{B^2} + 3M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức \(T = a – b + 9c\) bằng

Câu hỏi:

A. \(\frac{{13}}{9}\).

B. \(\frac{{ – 13}}{9}\).

C. \(13\).

D. \( – 13\).

Lời giải:

Chọn D

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thoả mãn \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)\( \Rightarrow I\left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{{ – 1}}{2}} \right)\).

Ta có: \(M{A^2} + 2M{B^2} + 3M{C^2} = 6M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} + 3I{C^2} + 2\overrightarrow {MI} (\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} )\)

\( = 6M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} + 3I{C^2}\)

Vì \(I{A^2} + 2I{B^2} + 3I{C^2}\) không đổi nên biểu thức \(M{A^2} + 2M{B^2} + 3M{C^2}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) \(M{I^2}\) nhỏ nhất\( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu vuông góc của điểm \(I\) trên \((P)\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\).

Phương trình tham số của \(\Delta \)\(:\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3} + t\\y = \frac{2}{3} + t\\z = \frac{{ – 1}}{2} + t\end{array} \right.\).

Xét phương trình: \(\frac{2}{3} + t + \frac{2}{3} + t – \frac{1}{2} + t + 2 = 0 \Rightarrow t = \frac{{ – 17}}{{18}}\)\( \Rightarrow M\left( {\frac{{ – 5}}{{18}};\frac{{ – 5}}{{18}};\frac{{ – 13}}{9}} \right)\)

Vậy \(T = a – b + 9c = \frac{{ – 5}}{{18}} + \frac{5}{{18}} + 9.\frac{{ – 13}}{9} = – 13\).

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC