(Sở Bắc Giang 2022) Trong không gian \(Oxyz\), biết rằng không có đường thẳng nào cắt đồng thời cả 4 đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 3}}{{ – 1}} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{z}{1};{d_2}:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{z}{{ – 1}};{d_3}:\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{{ – 1}};{d_4}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6 + t}\\{y = a + 3t.{\rm{ }}}\\{z = b + t}\end{array}} \right.\)

Giá trị \(2b – a\) bằng

Câu hỏi:

A. \( – 2\)

B. 3

C. 2.

D. \( – 3\).

Lời giải:

Đường thẳng \({d_1}\) có vec-tơ chỉ phương \({\vec u_1} = ( – 1;1;1)\) và đi qua điểm \(A(3; – 3;0)\).

Đường thẳng \({d_3}\) có vec-tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_3}} = (1; – 1; – 1)\) và đi qua điểm \(B(0; – 2; – 1)\).

\(\overrightarrow {BA} = (3; – 1;1)\).

Vì \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_3}} \) cùng phương và \(\overrightarrow {{u_1}} \) không cùng phương \(\overrightarrow {BA} \) nên \({d_1}//{d_3}\).

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \({d_1},{d_3}\).

Khi đó \((\alpha )\) nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = – 2(1;2; – 1)\) làm vec-tơ pháp tuyến và \((\alpha )\) đi qua \(B(0; – 2; – 1)\) nên nó có phương trình là:

\(1(x – 0) + 2(y + 2) – (z + 1) = 0 \Leftrightarrow x + 2y – z + 3 = 0.{\rm{ }}\)\(\)

Dễ thấy \((\alpha ):x + 2y – z + 3 = 0\) cắt \({d_2}:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{z}{{ – 1}}\) tại điểm \(M(0; – 1;1)\). \({d_4}\) có vec-tơ chỉ phương \(\overline {{u_4}} = (1;3;1)\). Do \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \cdot \overrightarrow {{u_4}} \ne 0\) nên \(\alpha ,{d_4}\) cắt nhau. Gọi tọa độ giao điểm tương ứng của chúng là \(N(6 + t;a + 3t;b + t)\).

\(\overrightarrow {MN} = (6 + t;a + 1 + 3t;b – 1 + t){\rm{. }}\)\(\)

Vì không có đường thẳng nào cắt đồng thời cả 4 đường thẳng đã cho nên suy ra \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} = ( – 1;1;1)\).

\(\)

\( \Leftrightarrow \frac{{6 + t}}{{ – 1}} = \frac{{a + 1 + 3t}}{1} = \frac{{b – 1 + t}}{1} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a + 1 + 3t = – 6 – t\\b – 1 + t = – 6 – t\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} – 4t = 7 + a\\4t = – 10 – 2b\end{array}\end{array} \Rightarrow 2b – a = – 3} \right.} \right.\)\(\)

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC