(Sở Hà Tĩnh 2022) Cho đường cong \((C):y = {x^3} + kx + 2\) và parabol \(P:y = – {x^2} + 2\) tạo thành hai miền phẳng có diện tích \({S_1},{S_2}\) như hình vẽ bên.

Biết rằng \({S_1} = \frac{8}{3}\), giá trị của \({S_2}\) bằng

A. \(\frac{1}{2}\).

B. \(\frac{1}{4}\).

C. \(\frac{3}{4}\).

D. \(\frac{5}{{12}}\).

Lời giải:.

Phương trình hoành độ giao điểm của \((C)\) và \(d\)

\({x^3} + kx + 2 = – {x^2} + 2 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + x + k} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + x + k = 0\end{array}\end{array}} \right.\)\(\)

Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt nên phương trình \({x^2} + x + k = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) khác 0 và thỏa mãn \({x_1} < 0 < {x_2}\). Do đó ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k < 0}\\{{x_2} = – 1 – {x_1}}\\{k = – x_1^2 – {x_1}}\end{array}} \right.\)

Trên đoạn \(\left[ {{x_1};0} \right],{x^3} + kx + 2 \ge – {x^2} + 2 \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} + kx \ge 0\). Theo bài ra, diện tích \({S_1} = \frac{8}{3}\) nên

\(\int_{{x_1}}^0 {\left| {{x^3} + {x^2} + kx} \right|} dx = \frac{8}{3}\)\(\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \int_{{x_1}}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} + kx} \right)} dx = \frac{8}{3}\left. { \Leftrightarrow \quad \left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{k{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{{x_1}}^0 = \frac{8}{3} \Leftrightarrow \quad – \left( {3x_1^4 + 4x_1^3 + 6kx_1^2} \right) = 32\\ \Leftrightarrow \quad 3x_1^4 + 4x_1^3 + 6\left( { – x_1^2 – {x_1}} \right)x_1^2 = – 32\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \quad 3x_1^4 + 2x_1^3 – 32 = 0 \Leftrightarrow \quad \left( {{x_1} + 2} \right)\left( {3x_1^3 – 4x_1^2 + 8{x_1} – 16} \right) = 0 \Leftrightarrow }&{{x_1} = – 2\left( {{\rm{ v\`i }}{x_1} < 0} \right).}\end{array}\)\(\)

Với \({x_1} = – 2 \Rightarrow k = – 2,{x_2} = 1\) và \({x^3} + {x^2} – 2x \le 0,\forall x \in [0;1]\), ta có

\({S_2} = – \int_0^1 {\left( {{x^3} + {x^2} – 2x} \right)} dx = – \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} – {x^2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{5}{{12}}\)\(\)