87. Cho đường cong \(\left( C \right)\) \(y = 8x – 27{x^3}\) _{và đường thẳng} \(y = m\) _cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ \(Oxy\) và chia thành hai miền phẳng có diện tích \({S_1} = {S_2}\) như hình vẽ dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

Câu hỏi: 87. Cho đường cong \(\left( C \right)\) \(y = 8x – 27{x^3}\) _{và đường thẳng} \(y = m\) _cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ \(Oxy\) và chia thành hai miền phẳng có diện tích \({S_1} = {S_2}\) như hình vẽ dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

A. \(0 < m < \frac{1}{2}\).

B. \(\frac{1}{2} < m < 1\).

C. \(1 < m < \frac{3}{2}\).

D. \(\frac{3}{2} < m < 2\).

Lời giải

Giả sử đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(a,\,b\,\left( {0 < a < b} \right)\). 

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}8a – 27{a^3} = m\\8b – 27{b^3} = m\end{array} \right.\).

Phương trình hoành độ giao điểm: \(8x – 27{x^3} = m \Leftrightarrow 8x – 27{x^3} – m = 0\)_.

Xét hàm số \(f(x) = 8x – 27{x^3} – m\) có \(F\left( x \right) = \int {f(x)} {\rm{d}}x = 4{x^2} – \frac{{27}}{4}{x^4} – mx + C\) 

Lại có: \({S_1} = \int\limits_0^a {\left| {f(x)} \right|} {\rm{d}}x =  – \int\limits_0^a {f(x)} {\rm{d}}x = F(0) – F(a)\) . 

\({S_2} = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|} {\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f(x)} {\rm{d}}x = F(b) – F(a)\).

Theo bài \({S_1} = {S_2} \Leftrightarrow F(0) – F(a) = F(b) – F(a) \Leftrightarrow F(b) = F(0)\).

Vì vậy \(F\left( b \right) = 4{b^2} – \frac{{27}}{4}{b^4} – mb = 0\) 

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}4{b^2} – \frac{{27{b^4}}}{4} – mb = 0\\8b – 27{b^3} = m\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{4}{9}\\m = \frac{{32}}{{27}}\end{array} \right.\). 

Chọn đáp án C.

==================== Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân