Với n là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^1 + C_n^2 = 55 \), hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức \( {\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^{n}}\) bằng

Ta có:

\(C_n^1 + C_n^2 = 55 \Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2} = 55 \Leftrightarrow {n^2} + n – 110 = 0 \to \left[ \begin{array}{l}
n = 10\\
n = – 11
\end{array} \right. \to n = 10\)

Số hạng tổng quát trong khai triển

\(
{\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^{10}}\) là: \(
{T_{k + 1}} = C_{10}^k{\left( {{x^3}} \right)^{10 – k}}.{\left( {\frac{2}{{{x^2}}}} \right)^k} = C_{10}^k{.2^k}.{x^{30 – 5k}}\)

Số hạng chứa x⁵ ứng với  \(30−5k=5⇔k=5\)

Vậy, hệ số của x⁵ trong khai triển của biểu thức \(
{\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^{10}}\) bằng \(
C_{10}^5{.2^5} = 8064\)