Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thoả mãn \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right)\). Chứng minh rằng phương trình \(f\left( x \right) = f\left( {x + \frac{1}{{2021}}} \right)\) có nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).
Lời giải
Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) – f\left( {x + \frac{1}{{2021}}} \right)\) và \(g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\frac{{2020}}{{2021}}} \right]\).
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) – f\left( {\frac{1}{{2021}}} \right)\\g\left( {\frac{1}{{2021}}} \right) = f\left( {\frac{1}{{2021}}} \right) – f\left( {\frac{2}{{2021}}} \right)\\…\\g\left( {\frac{{2020}}{{2021}}} \right) = f\left( {\frac{{2020}}{{2021}}} \right) – f\left( 1 \right)\end{array} \right\} \Rightarrow g\left( 0 \right) + g\left( {\frac{1}{{2021}}} \right) + … + g\left( {\frac{{2020}}{{2021}}} \right) = f\left( 0 \right) – f\left( 1 \right) = 0\)
Đặt \(A = \left\{ {g\left( 0 \right);g\left( {\frac{1}{{2021}}} \right);…;g\left( {\frac{{2020}}{{2021}}} \right)} \right\}\), ta có:
Trường hợp 1: Nếu \(\exists g\left( c \right) \in A\) sao cho \(g\left( c \right) = 0\) thì \(x = c \in \left[ {0;1} \right]\) là nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\).
Trường hợp 2: Nếu mọi phần tử của \(A\) đều khác \(0\) thì tồn tại 2 giá trị \(g\left( a \right),g\left( b \right) \in A\,\,\left( {a < b} \right)\) sao cho \(g\left( a \right),g\left( b \right)\) trái dấu. Mặt khác, \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) nên theo định lý trung gian, \(\exists c \in \left[ {a;b} \right] \subset \left[ {0;1} \right]\) sao cho \(g\left( c \right) = 0\).
Vậy phương trình \(g\left( x \right) = 0\) hay \(f\left( x \right) = f\left( {x + \frac{1}{{2021}}} \right)\) có nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).
Để lại phản hồi