Cho hình lăng trụ đứng\(AB
C. {A_1}{B_1}{C_1}\) \(A{A_1} = 2a\sqrt 5 \)và\(\widehat {BAC} = {120^\circ }\) có\(AB = a\), \(AC = 2a\),Gọi\(I\),\(K\) lần lượt là trung điểm của các cạnh\(B{B_1}\),\(C{C_1}\).Tính khoảng cách từ điểm\(I\)đến mặt phẳng\(\left( {{A_1}BK} \right)\)
A. \(\frac{{a\sqrt 5 }}{3}\).
B. \(a\sqrt {15} \).
C. \(\frac{{a\sqrt {15} }}{3}\).
D. \(\frac{{a\sqrt 5 }}{6}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
+) Gọi\(H\)là hình chiếu vuông góc của\({A_1}\)lên\({B_1}{C_1}\).
Khi đó\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{A_1}H \bot {B_1}{C_1}}\\{{A_1}H \bot B{B_1}}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow {A_1}H \bot (BIK)\)hay\({A_1}H\)là đường cao của tứ diện\({A_1}BIK\).
Ta có\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} – 2AB \cdot AC \cdot \cos {{120}^\circ }}= a\sqrt 7 \).
Ta có \({S_{\Delta {A_1}B{ & _1}{C_1}}} = \frac{1}{2}{A_1}H \cdot {B_1}{C_1} = \frac{1}{2}{A_1}{B_1} \cdot {A_1}{C_1} \cdot \sin 120^\circ \) \( \Leftrightarrow {A_1}H = \frac{{{A_1}{B_1} \cdot {A_1}{C_1} \cdot \sin 120^\circ }}{{{B_1}{C_1}}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\)
\({V_{{A_1}IBK}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta BIK}} \cdot {A_1}H\)\( = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}\sqrt {35} }}{2} \cdot \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\)\( = \frac{1}{6}{a^3}\sqrt {15} \).
+) Mặt khác \(BK = \sqrt {C{K^2} + C{B^2}} \)\( = 2a\sqrt 3 \), \(K{A_1} = \sqrt {{C_1}{K^2} + {C_1}A_1^2} \)\(\sin \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} \Rightarrow \frac{x}{{2\sqrt {{x^2} – {a^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\), \(O\)\( = a\sqrt {21} \). Ta thấy \(B{K^2} + K{A_1}^2 = B{A_1}^2\) \( \Rightarrow \) \(\Delta {A_1}BK\) vuông tại K.\( \Rightarrow {S_{\Delta {A_1}KB}} = \frac{1}{2}.K{A_1}.KB = 3\sqrt 3 {a^2}\).
+) Ta có \(d\left( {I,\left( {{A_1}BK} \right)} \right) = \frac{{3.{V_{I.{A_1}BK}}}}{{{S_{\Delta {A_1}BK}}}}\)\( = \frac{{3 \cdot \frac{1}{6}{a^3}\sqrt {15} }}{{3{a^2}\sqrt 3 }}\)\( = \frac{{a\sqrt 5 }}{6}\).
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian
Để lại phản hồi