Cho hàm số \(f\left( x \right)\)có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { – \frac{{3\pi }}{2}\,;\,2\pi } \right]\)của phương trình \(2f\left( {\cos x} \right) – 3 = 0\) là

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Câu hỏi: Cho hàm số \(f\left( x \right)\)có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { – \frac{{3\pi }}{2}\,;\,2\pi } \right]\)của phương trình \(2f\left( {\cos x} \right) – 3 = 0\) là

A. \(4\) .

B. \(7\) .

C. \(6\) .

D. \(8\) .

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Tự luận truyền thống

Cách 1 :

Ta có \(2f\left( {\cos x} \right) – 3 = 0\, \Leftrightarrow \,f\left( {\cos x} \right) = \frac{3}{2}\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}\cos x = a\, \in \left( { – \infty \,;\, – 1} \right)\\\cos x = b \in \left( { – 1\,;\,0} \right)\\\cos x = c\, \in \left( {0\,;\,1} \right)\\\cos x = d\, \in \left( {1\,;\, + \infty } \right)\end{array} \right.\)

Vì \(\cos x\, \in \left[ { – 1\,;\,1} \right]\) nên \(\cos x = a\, \in \left( { – \infty \,;\, – 1} \right)\) và \(\cos x = d\, \in \left( {1\,;\, + \infty } \right)\) vô nghiệm.

Xét đồ thị hàm số \(y = \cos x\) trên \(\left[ { – \frac{{3\pi }}{2}\,;\,2\pi } \right]\)

Phương trình \(\cos x = b \in \left( { – 1\,;\,0} \right)\) có \(4\) nghiệm phân biệt.

Phương trình \(\cos x = c\, \in \left( {0\,;\,1} \right)\) có \(3\)nghiệm phân biệt, không trùng với nghiệm nào của phương trình \(\cos x = b \in \left( { – 1\,;\,0} \right)\).

Vậy phương trình đã cho có \(7\) nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { – \frac{{3\pi }}{2}\,;\,2\pi } \right]\)\(.\)

Cách 2: PP ghép trục

Ta có \(2f\left( {\cos x} \right) – 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( {\cos x} \right) = \frac{3}{2}\quad \left( * \right)\)

Đặt \(t = \cos {\rm{x}},\;t \in \left[ { – 1;1} \right]\); \(t’ =  – \sin x;\;t’ = 0 \Rightarrow x = k\pi \); \(x \in \left[ { – \frac{{3\pi }}{2}\,;\,2\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ { – \pi ;\;0;\;\pi ;\;2\pi } \right\}\)

 khi đó \(\left( * \right)\) trở thành \(f\left( t \right) = \frac{3}{2}\).

Số nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) trên đoạn \(\left[ { – \frac{{3\pi }}{2}\,;\,2\pi } \right]\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right),\;t \in \left[ { – 1;1} \right]\) và đường thẳng \(y = \frac{3}{2}\).

Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta được kết quả đường thẳng \(y = \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại \(7\) điểm hay phương trình \(\left( * \right)\) có 7 nghiệm phân biệt trên đoạn \(\left[ { – \frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right]\).

=======