Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị được cho như ở hình vẽ bên dưới. Hỏi phương trình \(\left| {f\left( {{x^3} – 3x + 1} \right) – 2} \right| = 1\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị được cho như ở hình vẽ bên dưới. Hỏi phương trình \(\left| {f\left( {{x^3} – 3x + 1} \right) – 2} \right| = 1\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. \(8.\)

B. \(6.\)

C. \(9.\)

D. \(11.\)

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Tự luận truyền thống

– Dựa vào đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\), ta có:

\(\left| {f\left( {{x^3} – 3x + 1} \right) – 2} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( {{x^3} – 3x + 1} \right) = 1\\f\left( {{x^3} – 3x + 1} \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x^3} – 3x + 1 = b\,\,\left( {b <  – 1} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\\{x^3} – 3x + 1 = c\,\,\left( { – 1 < c < 3} \right)\,\,\,\left( 3 \right)\\{x^3} – 3x + 1 = d\,\,\left( {d > 3} \right)\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\\{x^3} – 3x + 1 = a\,\,\left( {a > d} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3x + 1\) (hình vẽ dưới đây)

Ta suy ra: Phương trình (1), (2), (4) mỗi phương trình có 1 nghiệm, phương trình (3) có 3 nghiệm và các nghiệm này đều phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt.

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Đặt \(u = {x^3} – 3x + 1\)

Ta có \(u’\left( x \right) = 3{x^2} – 3\); \(u’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

BBT của hàm số \(u\left( x \right)\):

Phương trình \(\left| {f\left( {{x^3} – 3x + 1} \right) – 2} \right| = 1\) trở thành: \(\left| {f\left( u \right) – 2} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( u \right) = 3\\f\left( u \right) = 1\end{array} \right.\)

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và từ bảng biến thiên của hàm số \(u\left( x \right) = {x^3} – 3x + 1\) ta có bảng sau biến thiên của hàm hợp \(f\left( {{x^3} – 3x + 1} \right) = f(u)\) như sau:

Từ bảng trên ta thấy phương trình \(f\left( u \right) = 1\) có \(5\) nghiệm và phương trình \(f\left( u \right) = 3\) có \(1\) nghiệm. Vậy phương trình đã cho có \(6\) nghiệm.

=======