MH-BGD-L1: Cho hàm số \(f\left( x \right)\)có bảng biến thiên như sau:

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Câu hỏi: MH-BGD-L1: Cho hàm số \(f\left( x \right)\)có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { – \pi ;2\pi } \right]\) của phương trình \(2f\left( {\sin x} \right) + 3 = 0\) là

A. \(4\).

B. \(6\).

C. \(3\).

D. \(8\).

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Tự luận truyền thống

Đặt \(t = \sin x\). Do \(x \in \left[ { – \pi ;2\pi } \right]\) nên \(t \in \left[ { – 1;1} \right]\).

Khi đó ta có phương trình \(2f\left( t \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) =  – \frac{3}{2}\).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình \(f\left( t \right) =  – \frac{3}{2}\) có 2 nghiệm \(t = a \in \left( { – 1;0} \right)\) và \(t = b \in \left( {0;1} \right)\).

Trường hợp 1: \(t = a \in \left( { – 1;0} \right)\)

Ứng với mỗi giá trị \(t \in \left( { – 1;0} \right)\) thì phương trình có 4 nghiệm \( – \pi  < {x_1} < {x_2} < 0 < \pi  < {x_3} < {x_4} < 2\pi .\)

Trường hợp 2: \(t = b \in \left( {0;1} \right)\)

Ứng với mỗi giá trị \(t \in \left( {0;1} \right)\) thì phương trình có 4 nghiệm \(0 < {x_5} < {x_6} < \pi .\)

Hiển nhiên cả 6 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau.

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { – \pi ;2\pi } \right]\)

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Đặt \(t = {\rm{sin}}x \in \left[ { – 1;1} \right]\) vì \(x \in \left[ { – \pi ;2\pi } \right]\); \(t{\rm{‘}} = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  – \frac{\pi }{2}}\\{x = \frac{\pi }{2}}\\{x = \frac{{3\pi }}{2}}\end{array}} \right.\);

Ta có \(2f\left( {{\rm{sin}}x} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( {{\rm{sin}}x} \right) =  – \frac{3}{2}.\)

Do đó tổng số nghiệm của phương trình đã cho là 6.

=======