Cắt hình nón \(\left( N \right)\) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng \({45^ \circ }\) ta được thiết diện là tam giác đều cạnh \(a\). Diện tích xung quanh của \(\left( N \right)\) bằng

Câu hỏi: Cắt hình nón \(\left( N \right)\) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng \({45^ \circ }\) ta được thiết diện là tam giác đều cạnh \(a\). Diện tích xung quanh của \(\left( N \right)\) bằng

A. \(\frac{{\sqrt {10} \pi {a^2}}}{2}\).

B. \(\sqrt {10} \pi {a^2}\).

C. \(\frac{{\sqrt {10} \pi {a^2}}}{4}\).

D. \(4\sqrt 5 \pi {a^2}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trong đề bài.

Khi đó thiết diện của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua đỉnh và cắt hình nón \(\left( N \right)\) là tam giác đều \(SAB\) cạnh \(a\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\). Suy ra góc của mp\(\left( \alpha \right)\) và đáy của hình nón \(\left( N \right)\) là góc \(\widehat {SIO} = {45^ \circ }\) (\(O\) là tâm của đáy hình nón)

Tam giác \(SAB\) đều \( \Rightarrow SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xét \(\Delta SIO\) vuông cân tại \(O\) \( \Rightarrow SO = OI = \frac{{SI}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

Ta có tam giác \(AOI\) vuông tại \(I\) có \(AO = \sqrt {A{I^2} + O{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2} + O{I^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\)

Diện tích xung quanh của \(\left( N \right)\) là \({S_{xq}} = \pi rl\) với \(r = AO = \frac{{a\sqrt {10} }}{4},l = SA = a\)

Suy ra \({S_{xq}} = \frac{{\sqrt {10} \pi {a^2}}}{4}\)

=======