Trong không gian \(Oxyz \), cho hai điểm \(A\left( { – 1\,;\,2\,;\,5} \right)\) và \(B\left( {3\,;\, – 1\,;\,2} \right)\). Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(MN = 2\). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) bằng

Câu hỏi: Trong không gian \(Oxyz \), cho hai điểm \(A\left( { – 1\,;\,2\,;\,5} \right)\) và \(B\left( {3\,;\, – 1\,;\,2} \right)\). Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(MN = 2\). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) bằng

A. \(6\sqrt 5 \).

B. \(\sqrt {34} \).

C. \(\sqrt {63} \).

D. \(\sqrt {58} \).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Dựng \(\overrightarrow {BB’} = \overrightarrow {NM} \). Khi đó \(BN = MB’\) và \(B’\) thuộc mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua \(B\) và song song với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là: \(z = 2\).

Hơn nữa, \(BB’ = 2\). Suy ra, \(B’\) thuộc đường tròn tâm \(B\), bán kính \(R = 2\) trong mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

Gọi \(A’\) đối xứng với \(A\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Khi đó, \(A’\left( { – 1\,;\,2\,;\, – 5} \right)\) và 2 điểm \(A’\),\(B’\) khác phía so với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Ta có \(AM + BN = A’M + MB’ \ge A’B’\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A’\) trên \(\left( Q \right)\). Suy ra \(H\left( { – 1\,;\,2\,;\,2} \right)\), \(A’H = 7\); \(HB = 5\).

Mặt khác, \(HB’ \ge \left| {HB – BB’} \right| = 5 – 2 = 3\). Suy ra, \(AM + BN = A’M + MB’ \ge A’B’ = \sqrt {A'{H^2} + HB{‘^2}} \ge \sqrt {{7^2} + {3^2}} = \sqrt {58} \).

Dấu bằng xảy ra khi \(B’\) nằm giữa \(B\) và \(H\), \(BB’ = 2\), \(M = A’B’ \cap \left( {Oxy} \right)\) và \(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {BB’} \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) bằng \(\sqrt {58} \).

=======