Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{1}{{2Rr}} \le \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \le \frac{1}{{4{r^2}}}$

Lời giải

Đề bài:
Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{1}{{2Rr}} \le \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \le \frac{1}{{4{r^2}}}$
Lời giải

 $\frac{1}{{4{r^2}}} = \frac{{4{p^2}}}{{16{S^2}}} = \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{\left( {a + b + c} \right)\left( {b + c – a} \right)\left( {c + a – b} \right)\left( {a + b – c} \right)}}$
     $\begin{array}{l}
 = \frac{{\left( {b + c – a} \right) + \left( {c + a – b} \right) + \left( {a + b – c} \right)}}{{\left( {b + c – a} \right)\left( {c + a – b} \right)\left( {a + b – c} \right)}}\\
 = \frac{1}{{\left( {c + a – b} \right)\left( {a + b – c} \right)}} + \frac{1}{{\left( {a + b – c} \right)\left( {b + c – a} \right)}} + \frac{1}{{\left( {b + c – a} \right)\left( {a + b – b} \right)}}\\
 = \frac{1}{{{a^2} – {{\left( {b – c} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{b^2} – {{\left( {c – a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{c^2} – {{\left( {a – b} \right)}^2}}}
 \ge \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}
\end{array}$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c \Leftrightarrow \Delta ABC$ đều.

$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{ab} +\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} =\frac{a+b+c}{abc}=\frac{2p}{4RS}=\frac{2p}{4Rpr}= \frac{1}{2Rr} $
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c \Leftrightarrow \Delta ABC$ đều.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác