Đề bài: Cho các số dương $a,b,c$ chứng minh rằng:       $(a+b-c)^n+(b+c-a)^n+(c+a-b)^n\geq a^n+b^n+c^n$.

Lời giải

Đề bài:
Cho các số dương $a,b,c$ chứng minh rằng:       $(a+b-c)^n+(b+c-a)^n+(c+a-b)^n\geq a^n+b^n+c^n$.
Lời giải

Đặt :
   $\begin{cases}x=a+b-c \\ y=b+c-a \\z=c+a-b\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x+y=2b\geq 0 \\ y+z=2c\geq 0 \\z+x=2a\geq 0\end{cases}$.
Khi đó,bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:
   $\displaystyle x^n+y^n+z^n\geq (\frac{z+x}{2})^n+(\frac{x+y}{2})^n+(\frac{y+z}{2})^n$.
Thật vậy, với $x+y\geq 0,y+z\geq 0,z+x\geq 0$, ta luôn có:
   $
\displaystyle  x^n+y^n\geq 2(\frac{x+y}{2})^n .       (1)$  
   $
\displaystyle  y^n+z^n\geq 2(\frac{y+z}{2})^n .       (2)$
   $
\displaystyle  z^n+x^n\geq 2(\frac{z+x}{2})^n .       (3)$
Cộng theo vế $(1),(2), (3)$ chúng ta nhận được bất đẳng thức cần chứng minh và dấu $”=”$ xảy ra khi:
  $x=y=z\Leftrightarrow a+b-c=b+c-a=c+a-b\Leftrightarrow a=b=c$

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác