Đề bài: Cho $ab \neq 0$.Chứng minh rằng:$-2\sqrt{2}-2\leq \frac{a^{2}-(a-4b)^{2}}{a^{2}+4b^{2}}\leq 2\sqrt{2}-2$

Lời giải

Đề bài:
Cho $ab \neq 0$.Chứng minh rằng:$-2\sqrt{2}-2\leq \frac{a^{2}-(a-4b)^{2}}{a^{2}+4b^{2}}\leq 2\sqrt{2}-2$
Lời giải

Đặt: $a=2b\tan \alpha,\alpha \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$\{$0$}
$\Rightarrow \frac{a^{2}-(a-4b)^{2}}{a^{2}+4b^{2}}=\frac{4b^2tan^2\alpha-4b^2(tan\alpha-2)^2}{4b^2tan^2\alpha+4b^2}=\frac{\tan ^{2}\alpha-(\tan \alpha-2)^{2}}{1+\tan ^{2}\alpha}$
$=4(\tan \alpha-1)\cos^{2}\alpha=2\sin 2\alpha-2(1+\cos 2\alpha)=2(\sin 2\alpha-\cos 2\alpha)-2$
$=2\sqrt{2}\sin(2 \alpha-\frac{\pi}{4})-2 \in [-2\sqrt{2}-2,2\sqrt{2}-2]$
$\Rightarrow$(ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác